№39466
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, точка. Прямая. Луч, теорема Фалеса,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Прямоугольная трапеция делится диагональю на равносторонний треугольник со стороной \(a\) и прямоугольный треугольник. Найдите среднюю линию трапеции.
Ответ
\(\fraq{3a}{4}\).
Решение № 39450:
\(\Delta BCD\) - равносторонний \(\Rightarrow BC = BD = DC = a\) и \(\angle B = \angle C = \angle D = 180^\circ : 3 = 60^\circ\). \(BC \parallel AD \Rightarrow \angle CBD = \angle BDA = 60^\circ\) (как внутренние накрест лежащие). Рассмотрим \(\Delta ABD\): \(\angle BDA = 60^\circ\), \(\angle BAD = 90^\circ\), \(BA = a \Rightarrow \angle ABD = 30^\circ\) (по теореме о сумме углов треугольника) \(\Rightarrow AD = \fraq{BD}{2} = \fraq{a}{2}\) (т. к. \(AD\) - катет, лежащий против угла \(30^\circ\)). По свойству средней линии трапеции \(EF = \fraq{1}{2}(AD + BC) = \fraq{1}{2}(\fraq{a}{2}+a) = \fraq{3a}{2} \cdot \fraq{1}{2} = \fraq{3a}{4}\).