№39462

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, точка. Прямая. Луч, теорема Фалеса,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Прямолинейная трасса делит пополам расстояние между домами \(A\) и \(B\) и расстояние между домами \(B\) и \(С\). Докажите, что эти три дома равноудалены от этой трассы.

Ответ

NaN

Решение № 39446:

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к прямой. Проведем \(AH_{1}\), \(BH_{2}\), \(CH_{3} \perp l\). Рассмотрим \(\Delta ABH_{1}\) и \(\Delta BDH_{2}\). \(\angle AH_{1}D = \angle BH_{2}D= 90^\circ\); \(\angle H_{1}DA = \angle H_{2}DB\) (как вертикальные); \(AD = BD \Rightarrow \Delta ADH_{1} = \Delta BDH_{2}\) по гипотенузе и острому углу \(\Rightarrow AH_{1} = BH_{2}\). Рассмотрим \(\Delta ВН_{2}Е\) и \(\Delta CH_{3}E\). \(\angle BH_{2}E = \angle CH_{3}E = 90^\circ\); \(\angle BEH_{2} = \angle CEH_{3}\) (как вертикальные); \(ВЕ = ЕС \Rightarrow \Delta BEH_{2} = \Delta СЕН_{3}\), по гипотенузе и острому углу\(\Rightarrow BH_{2} = CH_{3} \Rightarrow AH_{1} = BH_{2} = CH_{3}\), т. е. вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.