Решение №38608: Пусть перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные через точки \(А_{1}\), \(В_{1}\) и \(C_{1}\) пересекаются в точке \(М\). Обозначьте центр окружности буквой \(О\). Перпендикуляры к стороне \(ВС\), проведённые через точки \(A_{1}\) и \(A_{2}\) симметричны относительно точки \(О\), Поэтому перпецдикуляры к сторонам, проведённые через точки \(A_{2}\) \(A_{2}\) и \(C_{2}\), пересекаются в точке, симметричной точке \(М\) относительно точки \(О\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38609: Пусть \(P\), \(Q\), \(R\) и \(S\) - середины сторон \(АВ\), \(ВС\), \(CD\) и \(DA\) четырёхугольника \(ABCD\), \(М\) - точка пересечения отрезков \(PR\) и \(QS\). Четырёхугольник \(PQRS\) - параллелограмм (задача 13.8), потому точка \(М\) общая середина отрезков \(PR\) и \(QS\). Обозначьте центр окружности буквой \(О\). Пусть точка \(O\), симметрична точке \(О\) относительно точки \(М\). Тогда четырёхугольник \(РО_{1}RO\) - параллелограмм, поэтому\(РО_{1} \perp CD\). Аналогичные рассуждения показывают, что \(O_{1}\), искомая точка.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38610: Окружности \(S_{1}\) и \(S_{2}\) симметричны относительно точки \(А\). Угол \(ОАВ\) прямой, поскольку \(ОВ\) - диаметр окружности \(S_{1}\). Поэтому точка, симметричная точке \(В\) относительно точки \(А\), лежит на окружности \(S\). Она лежит также и на окружности \(S_{2}\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38611: Центр симметрии выпуклого многоугольника не может быть его вершиной, поэтому вершины выпуклого многоугольника, имеющего центр симметрии, разбиваются на пары.

Ответ: NaN

Решение №38612: Предположите, что выпуклый многоугольник имеет два центра симметрии; обозначьте их \(O_{1}\) и \(O_{2}\). Рассмотрите ту часть многоугольника, которая лежит на прямой \(O_{1}O_{2}\). Эта фигура является отрезком и имеет центры симметрии \(O_{1}\) и \(O_{2}\). Но у отрезка только один центо симметрии его середина.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38613: Первый игрок кладёт монету в центр стола, а затем кладёт монеты симметрично монетам второго игрока относительно центра стола. Первый игрок всегда может сделать очередной ход. Ясно также, что игра завершится за конечное число ходов.

Ответ: NaN

Решение №38614: Пусть точка \(Е\) симметрична точке \(D\) относительно точки \(Р\). Если \(S_{PCD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\), то \(S_{PCE} = S_{PCD} = S_{PBC}+S_{PBE}/), позтому точка \(В\) лежит на отрезке \(ЕС\). Ясно также, что \(EB \parallel AD\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38615: Возьмём на ломаной точки \(А\) и \(В\), делящие её периметр пополам. Тогда \(АВ < 2/). Докажем, что все точки ломаной лежат внутри круга радиуса 1 с центром в точке \(О\) - середине отрезка \(АВ\). Пусть \(M\) - произвольная точка ломаной, а точка \(М_{1}\) симметрична ей относительно точки \(О\). Тогда \(МО = \frac{M_{1}M}{2} < \frac{M_{1}A + AM}{2} = \frac{BM + AM}{2}<1\), так как \(ВМ + AM\) не превосходит половины длины ломаной.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38616: Точка /(С_{1}/), симметричная точке \(С\) относительно гипотенузы \(АВ\), не может лежать на продолжении средней линии, параллельной гипотенузе. Пусть для определённости она лежит на прямой \(MN\), где \(М\) и \(N\) - середины сторон \(АВ\) и \(ВС\) (рис. 265). Тогда четырёхугольник \(ACMC_{1}\) - ромб, \(2\alpha + \beta = 90^|circ\) и \(\alpha + 2\beta = 90^\circ\).

Ответ: NaN

Решение №38617: Пусть прямые \(АM\) и \(ВМ\) пересекают окружность в точках \(В_{1}\) и \(А_{1}\); эти точки симметричны точкам \(В\) и \(А\) относительно диаметра. Угол \(АОМ\) равен полусумме градусной меры дуги \(АВ\) и равной ей дуги \(А_{1}В_{1}\) поэтому он равен градусной мере дуги \(АВ\). Центральный угол \(АОВ\) тоже равен градусной мере дуги \(АВ\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38618: Пусть точка \(В_{1}\) симметрична точке \(В\) относительно прямой \(АЕ\). Тогда точки \(В\), \(H\), \(В_{1}/) и \(Е\) лежат на одной окружности. Поэтому \( \angle EHC = \angle EBB_{1} = 45^\cdot\)

Ответ: NaN

Решение №38619: Воспользовавшись результатом задачи 21.11, докажите, что указанная прямая симметрична прямой \(ВС\) относительно прямой \(AD\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38620: Пусть точки \(С_{1}\) и \(С_{3}\) симметричны точке \(С\) относительно прямых \(АВ\)

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38621: Вocпользуйтесь равенствами \( \angle B_{1}OA = 2\angle BOA\) и \( \angle АОC_{1} = 2\angle АОС\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38622: Пусть точки \(В_{1}\) и \(С_{1}\) симметричны точке \(А\) относительно прямых \(ОВ\) и \(ОС\) (рис. 267). Угол \(ВОС\) лежит внутри угла \(В_{1}ОC_{1}\) поэтому отрезок \(В_{1}С_{1}\) пересекает стороны угла в некоторых точках \(В_{2}\) и \(С_{2}\). Выпустив бильярдный шар из точки \(А\) в точку \(В_{2}) (или в точку (С_{2}/)), получите искомую траекторию

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38623: Ось симметрии прямой не может пересекать её под острым углом.

Ответ: NaN

Решение №38624: Вершины многоугольника, не лежащие на его оси симетрии, разбиваются на пары. Ось симметрии треугольника серединцый перпендикуляр к отрезку, соединяющему две вершинытреугольника, не лежащие на оси.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38625: Если у треугольника есть две оси симметрии, то все его стороны равны.

Ответ: NaN

Решение №38626: Пусть ось симметрии четырёхугольника не является диагональ. Тогда по крайней мере три его вершины не лежат на оси симметрии, поэтому две вершины лежат по одну сторону от оси. Две другие вершины симметричны им.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38627: Вершины многоугольника, не лежащие на оси симметрии, разбиваются на пары.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38628: Пусть у четырёхугольника есть две оси симметрии. Если одна из них является его диагональю, то четырёхугольник ромб. Если же обе оси не диагонали, то пары вершин симметричны относительно них и четырехугольник - прямоугольник.

Ответ: NaN

Решение №38629: Вершины семнадцатиугольника, не лежащие на оси симметрии, мокно разбить на пары симметричных друг другу вершин.

Ответ: NaN

Решение №38630: Проведите диаметр \(КL\) первой окружности и рассмотрите параллельный перенос, переводящий точку \(L\) в точку \(К\) (рис. 268). Этот параллельный перенос переводит первую окружность во вторую, а точку \(А\) в некоторую точку \(А_{1}\)второй окружности. При этом \(\angle LAK = 90^\circ\) и \(LA \parallel KA_{1}\). Поэтому \(\angle АКА_{1} = 90^\circ\), а значит, точка \(А\), совпадает с точкой \(В\)

Ответ: NaN

Решение №38631: Рассмотрите параллельный перенос, переводящий одну окружность в другую. При этом точка \(М\) переходит в некоторую точку \(М_{1}\) (рис. 269). Угол \(NMM_{1}\) прямой, поэтому \(M_{1}N\) - диаметр окружности. Следовательно, \(MN^{2} + AB^{2} = MN^{2} + M_{1}M^{2} = M_{1}N^{2} = 4R^{2}/).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38632: Рассмотрите параллельный перенос, переводящий точки \(А\) и \(В\) в точки \(D\) и \(С\) соответственно. При этом точка \(М\) переходит в некоторую точку \(N\) (рис. 270). Четырёхугольник \(DNCM\) обладает требуемыми свойствами.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38633: Поверните квадрат \(ABCD\) относительно точки \(А\) на \(90^\circ\\) так, чтобы точка \(В\) перешла в точку \(D\). При этом повороте точка \(М\) переходит в некоторую точку \(М_{1}\) (рис. 271). Ясно, что \(\angle M_{1}AK = \angle M_{1}AD + \angle DAK = \angle MAB + \angle DAK = \angle MAK + \angle DAK = \angle MAD\). Далее,\(\angle MAD = \angle BMA = \angle DM_{1}A\). Таким образом, \(\angle M_{1}AK = \angle DM_{1}A\), поэтому \(AK = KM_{1} = KD + DM_{1} = KD + BM\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38634: При повороте на \(90^\circ\) с центром \(Р\) прямые \(РА_{1}\), \(РВ_{1}\), \(РМ_{1}\) и \(СН\) переходят в прямые, параллельные прямым \(СА\), \(СВ\), \(СМ\) и \(АВ\) соответственно. Следовательно, при таком повороте треугольника \(РА_{1}В_{1}\) отрезок \(РМ_{1}\) переходит в медиану повёрнутого треугольника.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38635: Рассмотрите поворот на \(90^\circ\) с центром \(О\), переводящий вершину \(С\) в вершину \(А\), а вершину \(F\) в вершину \(D\). При этом повороте точка \(А\) переходит в некоторую точку \(А_{1}\), а точка \(М_{1}\)- в точку \(М_{1}\). Точки \(М_{1}\) и \(O\) - середины сторон \(А_{1}D\) и \(А_{1}С\) треугольника \(A_{1}CD\) поэтому \(OM_{1} \parallel CD\). Ho \(OM_{1} \perp OM\), поэтому \(CD \perp OM|).

Ответ: NaN

Решение №38636: При повороте на \(90^\circ\) с центром в точке пересечения диагоналей квадрата, переводящем точку \(А_{1}\) в точку \(А_{2}\), проведенные прямые переходят в прямые /(A_{2}P/), /(A_{3}P/), /(A_{4}P/) и /(A_{1}P/) соответственно.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38637: Рассмотрите поворот с центром \(А|) на \(90^\circ\), при котором точка \(В\) переходит в точку \(D\). Пусть точка \(М_{1}\) - образ точки \(М\) при этом повороте. По условию \(МК + MC + CK = (BM + MC) + (KD + CK)\), поэтому \(MK = BM + KD = DM_{1} + KD = KM_{1}\) . Кроме того, \(АМ - AM_{1}\), поэтому треугольники \(АМК\) и \(АМ_{1}L\) равны и \(\angle MAK = \angle M_{1}AK = \frac{1}{2} \angle MAM_{1} = 45^\circ\)

Ответ: NaN