№38653

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На сторонах \(СВ\) и \(CD\) квадрата \(ABCD\) отмечены точки \(М\) и \(К\) так, что периметр треугольника \(СМК\) равен удвоенной стороне квадрата. Найдите утол \(МАК\).

Ответ

NaN

Решение № 38637:

Рассмотрите поворот с центром \(А|) на \(90^\circ\), при котором точка \(В\) переходит в точку \(D\). Пусть точка \(М_{1}\) - образ точки \(М\) при этом повороте. По условию \(МК + MC + CK = (BM + MC) + (KD + CK)\), поэтому \(MK = BM + KD = DM_{1} + KD = KM_{1}\) . Кроме того, \(АМ - AM_{1}\), поэтому треугольники \(АМК\) и \(АМ_{1}L\) равны и \(\angle MAK = \angle M_{1}AK = \frac{1}{2} \angle MAM_{1} = 45^\circ\)