№38626

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Окружности \(S_{1}\) и \(S_{2}\) радиуса 1 касаются в точке \(А\); центр \(О\) окружности \(S\) радиуса 2 принадлежит \(S_{1}\). Окружность \(S_{1}\) касается окружности S в точке В. Докажите, что прямая \(АВ\) проходит через точку пересечения окружностей \(S_{2}\) и S.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38610:

Окружности \(S_{1}\) и \(S_{2}\) симметричны относительно точки \(А\). Угол \(ОАВ\) прямой, поскольку \(ОВ\) - диаметр окружности \(S_{1}\). Поэтому точка, симметричная точке \(В\) относительно точки \(А\), лежит на окружности \(S\). Она лежит также и на окружности \(S_{2}\).