№38650

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

В треугольнике \(АВС\) проведены медиана \(СМ\) и высота \(СН\). Прямые, проведённые через произвольную точку \(Р\) плоскости перпендикулярно прямым \(СА\), \(СМ\) и \(СB\), пересекают прямую \(СН\) в точках \(А_{1}\), \(М_{1}\) и \(В_{1}\). Докажите, что \(А_{1}М_{1} = B_{1}M_{1}\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38634:

При повороте на \(90^\circ\) с центром \(Р\) прямые \(РА_{1}\), \(РВ_{1}\), \(РМ_{1}\) и \(СН\) переходят в прямые, параллельные прямым \(СА\), \(СВ\), \(СМ\) и \(АВ\) соответственно. Следовательно, при таком повороте треугольника \(РА_{1}В_{1}\) отрезок \(РМ_{1}\) переходит в медиану повёрнутого треугольника.