№38633

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Точки \(А\) и \(В\) окружности с центром \(О\) лежат по одну сторону от диаметра окружности, на котором отмечена точка \(М\) так, что прямые \(АМ\) и \(ВМ\) образуют равные углы с этим диаметром. Докажите, что /( /angle AOB = \angle AOM\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38617:

Пусть прямые \(АM\) и \(ВМ\) пересекают окружность в точках \(В_{1}\) и \(А_{1}\); эти точки симметричны точкам \(В\) и \(А\) относительно диаметра. Угол \(АОМ\) равен полусумме градусной меры дуги \(АВ\) и равной ей дуги \(А_{1}В_{1}\) поэтому он равен градусной мере дуги \(АВ\). Центральный угол \(АОВ\) тоже равен градусной мере дуги \(АВ\).