№38647

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Две окружности радиуса \(R\) пересекаются в точках \(М\) и \(N\). Пусть \(А\) и \(В\) точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку \(MN\) с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой \(MN\). Докажите, что \(MN^{2} + AB^{2} = 4R^{2}\)

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38631:

Рассмотрите параллельный перенос, переводящий одну окружность в другую. При этом точка \(М\) переходит в некоторую точку \(М_{1}\) (рис. 269). Угол \(NMM_{1}\) прямой, поэтому \(M_{1}N\) - диаметр окружности. Следовательно, \(MN^{2} + AB^{2} = MN^{2} + M_{1}M^{2} = M_{1}N^{2} = 4R^{2}/).<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№24.24.png'>