№38625

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Вершины вышуклого четырёхугольника лежат на окружности. Докажите, что прямые, проведенные через середины его сторон перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38609:

Пусть \(P\), \(Q\), \(R\) и \(S\) - середины сторон \(АВ\), \(ВС\), \(CD\) и \(DA\) четырёхугольника \(ABCD\), \(М\) - точка пересечения отрезков \(PR\) и \(QS\). Четырёхугольник \(PQRS\) - параллелограмм (задача 13.8), потому точка \(М\) общая середина отрезков \(PR\) и \(QS\). Обозначьте центр окружности буквой \(О\). Пусть точка \(O\), симметрична точке \(О\) относительно точки \(М\). Тогда четырёхугольник \(РО_{1}RO\) - параллелограмм, поэтому\(РО_{1} \perp CD\). Аналогичные рассуждения показывают, что \(O_{1}\), искомая точка.