№38649

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На сторонах \(ВС\) и \(CD\) квадрата \(ABCD\) отмечены точки \(М \)и \(К\) соответственно, причём \(\angle BAM = \angle MAK\). Докажите, что \(BM + KD = AK\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38633:

Поверните квадрат \(ABCD\) относительно точки \(А\) на \(90^\circ\\) так, чтобы точка \(В\) перешла в точку \(D\). При этом повороте точка \(М\) переходит в некоторую точку \(М_{1}\) (рис. 271). Ясно, что \(\angle M_{1}AK = \angle M_{1}AD + \angle DAK = \angle MAB + \angle DAK = \angle MAK + \angle DAK = \angle MAD\). Далее,\(\angle MAD = \angle BMA = \angle DM_{1}A\). Таким образом, \(\angle M_{1}AK = \angle DM_{1}A\), поэтому \(AK = KM_{1} = KD + DM_{1} = KD + BM\).<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№24.26.png'>