№38624

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Окружность пересекает стороны \(ВС\), \(СА\), \(АВ\) треугольника \(АВС\) в точках \(A_{1}\) и \(A_{2}\), \(B_{1}\) и \(B_{2}\), \(C_{1}\) и \(C_{2}\), соответственно. Докажите, что если перпендикуляры к сторонам треугольника, проведённые через точки \(A_{1}\), \(B_{1}\) и \(C_{1}\). пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры к сторонам, проведенные через точки \(A_{2}\), \(B_{2}\) и \(C_{2}\), тоже пересекаются в одной точке.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38608:

Пусть перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные через точки \(А_{1}\), \(В_{1}\) и \(C_{1}\) пересекаются в точке \(М\). Обозначьте центр окружности буквой \(О\). Перпендикуляры к стороне \(ВС\), проведённые через точки \(A_{1}\) и \(A_{2}\) симметричны относительно точки \(О\), Поэтому перпецдикуляры к сторонам, проведённые через точки \(A_{2}\) \(A_{2}\) и \(C_{2}\), пересекаются в точке, симметричной точке \(М\) относительно точки \(О\).