№38630

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Точка \(Р\) середина стороны \(АВ\) выпуклого четырёхугольника \(ABCD\). Докажите, что если площадь треугольника \(PCD\) равна половине площади четырёхугольника \(ABCD\), то \(ВС \parallel AD\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38614:

Пусть точка \(Е\) симметрична точке \(D\) относительно точки \(Р\). Если \(S_{PCD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\), то \(S_{PCE} = S_{PCD} = S_{PBC}+S_{PBE}/), позтому точка \(В\) лежит на отрезке \(ЕС\). Ясно также, что \(EB \parallel AD\).