№38631

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что замкнутую ломаную длиной 4 можно поместить в круг радиуса 1.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38615:

Возьмём на ломаной точки \(А\) и \(В\), делящие её периметр пополам. Тогда \(АВ < 2/). Докажем, что все точки ломаной лежат внутри круга радиуса 1 с центром в точке \(О\) - середине отрезка \(АВ\). Пусть \(M\) - произвольная точка ломаной, а точка \(М_{1}\) симметрична ей относительно точки \(О\). Тогда \(МО = \frac{M_{1}M}{2} < \frac{M_{1}A + AM}{2} = \frac{BM + AM}{2}<1\), так как \(ВМ + AM\) не превосходит половины длины ломаной.