Решение №39573: \(\Delta ABC \sim \Delta KMN = \angle A = \angle K, \angle B = \angle M, \angle C = \angle N\) - по определению подобных треугольников.

Ответ: NaN

Решение №39574: \(\Delta ABC\); \(\fraq{AB}{EF} = \fraq{BC}{FD} = \fraq{AC}{ED} \rightarrow \Delta ABC \sim \Delta EFD\)

Ответ: NaN

Решение №39575: а) Нет, не являются, т. к. для равенства треугольников недостаточно равенства углов; б) Да, подобны; т.к. тогда соответствующие углы равны и соответствующие стороны равны \rightarrow\) отношение соответствующих сторон равно \(1 \rightarrow k = 1\).

Ответ: NaN

Решение №39576: Нет, не могут, поскольку у прямоугольного треугольника не может быть тупого угла и у тупоугольного треугольника не может быть прямого угла.

Ответ: Нет, не могут.

Решение №39577: Если коэффициент подобия треугольников равен 0,25, то \(\fraq{AC}{A_{1}C_{1}} ＝ \fraq{1}{4} \Rightarrow\) стороны одного треугольника в 4 раза больше сторон другого.

Ответ: в 4 раза больше.

Решение №39578: \(BE = 1,9\) см. По теореме о пропорциональных отрезках: \(\fraq{BD}{AD} = \fraq{BE}{EC} = \fraq{1}{2} \Rightarrow EC = 2EB = 3,8\) см.

Ответ: \(BE = 1,9\) см. По теореме о пропорциональных отрезках: \(\fraq{BD}{AD} = \fraq{BE}{EC} = \fraq{1}{2} \Rightarrow EC = 2EB = 3,8\) см.

Решение №39579: \(\Delta ABC \sim \Delta DBE\).

Ответ: \(\Delta ABC \sim \Delta DBE\).

Решение №39580: a) \(\fraq{a}{c} = \fraq{8}{4} = 2\); \(\fraq{b}{d} = \fraq{24}{12} = 2\), т. e. \(\fraq{a}{c} = \fraq{b}{d} \Rightarrow\) отрезки \(a\) и \(b\) и пропорциональны отрезкам \(c\) и \(d\). Ответ: да. б) \(\fraq{a}{c} = \fraq{9}{7}\); \(\fraq{b}{d} = \fraq{14}{18} = \fraq{7}{9}\), \(\fraq{a}{c} \neq \fraq{b}{d} \Rightarrow\) - отрезки \(a\) и \(b\) не пропорциональны отрезкам \(c\) и \(d\). Ответ: нет.

Ответ: a) да; б) нет.

Решение №39581: Из подобия треугольников: \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}}\); 1) \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} \Rightarrow AB = \fraq{A_{1}B_{1} \cdot AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{9 \cdot 12}{19} = \fraq{12}{2} = 6 \Rightarrow AB = 6\). 2) \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} \Rightarrow B_{1}C_{1} = \fraq{A_{1}B_{1} \cdot BC}{AB} = \fraq{9 \cdot 8}{6} = 12\).

Ответ: 6, 12.

Решение №39582: Из подобия треугольников: \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}}\); 1) \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} \Rightarrow A_{1}B_{1} = \fraq{AB \cdot B_{1}C_{1}}{BC} = \fraq{20 \cdot 12}{16} = 15\). 2) \(\fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} \Rightarrow A_{1}C_{1} = \fraq{B_{1}C_{1} \cdot AC}{BC} = \fraq{12 \cdot 12}{16} = 9\).

Ответ: 15; 9.

Решение №39583: а) По теореме о пропорциональных отрезках: \(\fraq{AK}{KВ} = \fraq{CM}{MB} \Rightarrow \fraq{AK \cdot MB}{KB} = \fraq{2 \cdot 9}{6} = 3\) (см). б) По теореме о пропорциональных отрезках \(\fraq{BK}{KA} = \fraq{BM}{MC}\). Пусть \(BM = х \Rightarrow MC = 10 - х \Rightarrow \fraq{3}{2} = \fraq{x}{10 - х}\); \(3(10 - x) = 2x\); \(30 - 3x = 2x\); \(x = 6\) см \(\Rightarrow BM = 6\) см; \(МС = 4\) см.

Ответ: а) 3 см; б) 4 см.

Решение №39584: По теореме о пропорциональных отрезках: \(\fraq{KB}{AK} = \fraq{BM}{MC} = \fraq{4}{3} \Rightarrow KB = \fraq{4 \cdot AK}{3} = \fraq{4 \cdot 6}{3} = 8\) (см) \(\Rightarrow AB = AK + KB = 8 + 6 = 14\) (см).

Ответ: 14 см.

Решение №39585: Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle A = \angle D = 45^\circ\), \(\angle B + \angle E = 110^\circ\); \(\angle C = \angle F\). a) В \(\Delta ABC\): \(\angle A = 45^\circ\); \(\angle B = 110^\circ\). По теореме о сумме углов \(\Delta ABC\): \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \Rightarriw \angle C = 25^\circ\). б) В \(\Delta АВС\): \(\angle B = 80^\circ\); \(\angle A = \angle C\). По теореме о сумме углов \(\Delta АВС\): \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \angle A = \angle C = (180^\circ - 80^\circ) : 2 = 50^\circ\). \(\angle F = \angle C = 50^\circ\).

Ответ: а) \(25^\circ\); б) \(50^\circ\).

Решение №39586: \(\angle A_{1} - \angle B_{1} = 70^\circ\); \(\angle B_{1} = \angle A_{1} - 70^\circ = 90^\circ - 20^\circ\). По теореме о сумме углов треугольника (в \(\Delta B_{1}A_{1}C_{1}\)): \(\angle B_{1} + \angle A_{1} + \angle C_{1} = 180^\circ \Rightarrow \angle C_{1} = 70^\circ\). Из подобия треугольников следует: \(\angle A_{1} = \angle A = 90^\circ\), \(\angle B_{1} = \angle B = 20^\circ\), \(\angle C_{1} = \angle C = 70^\circ\).

Ответ: \(20^\circ, 70^\circ\).

Решение №39587: а) Из определения подобных треугольников: \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{P_{ABC}}{P_{A_{1}B_{1}C_{1}}} = \kappa\). \(P_{ABC} = AB + BC + AC = 2,5 + 4 + 5 = 11,5\) (см); \(\kappa = \fraq{P_{ABC}}{P_{A_{1}B_{1}C_{1}}} = \fraq{11,5}{46} = \fraq{1}{4}\); \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{1}{4} \Rightarrow A_{1}B_{1} = 4 \cdot AB = 10\) см; \(\fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{1}{4} \Rightarrow A_{1}C_{1} = 4 \cdot AC = 20\) см; \(\fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{1}{4} \Rightarrow B_{1}C_{1} = 4 \cdot BC = 16\) см; Ответ: 10 см, 20 см, 16 см. б) Из определения подобных треугольников: \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} \cdot A_{1}B_{1}\) - наименьшая сторона \(\Delta A_{1}B_{1}C_{1} \Rightarrow A_{1}B_{1} = 5\) см. 1) \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} \Rightarrow A_{1}C_{1} = \fraq{A_{1}B_{1} \cdot AC}{AB} = \fraq{5 \cdot 5}{2,5} = 10\) (см); 2) \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} \Rightarrow B_{1}C_{1} = \fraq{A_{1}B_{1} \cdot BC}{AB} = \fraq{5 \cdot 4}{2,5} = 8\) (см). Ответ: 5 см, 10 см, 8 см.

Ответ: а) 10 см, 20 см, 16 см; б) 5 см, 10 см, 8 см.

Решение №39588: Из подобия треугольников: \(\fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \kappa = \fraq{P_{ABC}}{P_{A_{1}B_{1}C_{1}}}\); \(\kappa = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} = \fraq{16}{8} = 2\). \(P_{ABC} = AC + BC + AB = 16 + 12 + 10 = 38\) (см)\); \(\fraq{38}{P_{A_{1}B_{1}C_{1}}} = 2 \Rightarrow P_{A_{1}B_{1}C_{1}} = \fraq{38}{2} = 19\) (см).

Ответ: 19 см.

Решение №39589: Поскольку треугольники равносторонние, то все их углы по \(60^\circ \Rightarrow \angle K_{1} = \angle K\), \(L_{1} = \angle L\), \(M_{1} = \angle M\). \(KL = LM = MK\), \(K_{1]L_{1} = L_{1]M_{1} = M_{1]K_{1}\) (по условию) \(\Rightarrow \fraq{KL}{K_{1}L_{1}} = \fraq{LM}{L_{1}M_{1}} = \fraq{MK}{M_{1}K_{1}} \Rightarrow\) по определению \(\Delta KLM \sim \Delta K_{1]L_{1]M_{1}\).

Ответ: NaN

Решение №39590: Методом от противного: предположим, что \(\Delta АВС \sim \Delta А_{1}B_{1}C_{1}\), тогда \(\angle A = \angle A_{1}\). Ho \(\angle A > 90^\circ\), a \(\angle A_{1} = 60^\circ\) (т. к. \(\Delta А_{1}B_{1}C_{1}\) - равносторонний), т. е. \(\angle A \neq \angle A_{1}\). Получили противоречие \(\Rightarrow \Delta АВС \nsim \Delta А_{1}B_{1}C_{1}\).

Ответ: NaN

Решение №39591: По теореме о пропориональных отрезках: \(\fraq{AM}{AB} = \fraq{DN}{DC}\). a) \(\fraq{DN}{DC} = \fraq{AM}{AB} = \fraq{4}{5}\). Пусть \(DN = х\) см, тогда \(DC = x + 3\) (см) \(\Rightarrow \fraq{x}{x + 3} = \fraq{4}{5} \Rightarrow 5x = 4x + 12 \Rightarrow х = 12\) см \(\Rightarrow DC = 15\) см. б) \(\fraq{AM}{AB} = \fraq{DN}{DC}\). Используя свойство пропорции, данное равенство можно записать в виде \(\fraq{AM}{DN} = \fraq{AB}{DC} = \fraq{3}{2}\); \(\fraq{AM}{DN} = \fraq{3}{2} \Rightarrow DN = \fraq{2AM}{3} = \fraq{2 \cdot 9}{3} = 6\) (см). T. к. \(DN + NC = CD\), то \(CD = 8\) см; \(\fraq{BA}{DC} = \fraq{3}{2} \Rightarrow AB = \fraq{DC \cdot 3}{2} = \fraq{8 \cdot 3}{2} = 12\) (см).

Ответ: а) 15 см; б) 12 см.

Решение №39592: По теореме о пропорциональных отрезках \(\fraq{MB}{AB} = \fraq{CN}{CD} = \fraq{3}{7}\). T. к. \(AM - MB = 1\), то \(AM = MB + 1\), a \(AB = 2 \cdot MB + 1 \Rightarrow \fraq{MB}{2 \cdot MB + 1} = \fraq{3}{7} \Rightarrow 7 \cdot MB = 3 \cdot (2 \cdot MB + 1)\); \(7 \cdot MB = 6 \cdot MB + 3 \Rightarrow MB = 3\) см \(\Rightarrow AM = 4\) см. Тогда \(AB = MB + AM = 7\) см.

Ответ: 7 см.

Решение №39593: а) По теореме о пропорциональных отрезках: \(\fraq{AB}{BC} = \fraq{AD}{DE}\); \(\fraq{3}{4} = \fraq{12}{x} \Rightarrow x = \fraq{12 \cdot 4}{3} = 16\). б) По теореме о пропорциональных отрезках \(\fraq{AB}{BC} = \fraq{AD}{DE}\); \(\fraq{x}{x + 1} = \fraq{15}{20} \Rightarrow 20x = 15x + 15\); \(5x = 15\); \(x = 3 \Rightarrow AB = 3\).

Ответ: а) 16; б) 3.

Решение №39594: Поскольку \(\Delta АВС \sim \Delta DEF\), то \(\angle A = \angle D\), \(\angle B = \angle E\); \(\angle C = \angle F \Rightarrow\) в \(\Delta ABC\): \(\angle A = 70^\circ\); \(\angle B = 55^\circ\). По теореме о сумме углов треугольника (в \(\Delta AВС\)) \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \angle C = 180^\circ - (70^\circ + 55^\circ) = 55^\circ\), т. е. в \(\Delta АВС \angle B = \angle C \Rightarrow \Delta АВС\) - равнобедренный по признаку \(\Rightarrow АВ = АС\).

Ответ: NaN

Решение №39595: Из подобия треугольников следует: \(\angle A = \angle K\); \(\angle B = \angle M\), \(\angle C = \angle N\). Поскольку \(\angle A + \angle M = 90^\circ\), то \(\angle A + \angle B = 90^\circ\). По теореме о сумме углов треугольника в \(\Delta АВC\): \(\angle А + \angle B + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \angle C = 90^\circ \Rightarrow\) в \(\Delta АВС \angle C\) - наибольший угол, а в треугольнике против большего угла лежит большая сторона \(\Rightarrow АВ\) - наибольшая сторона \(\Delta АВС\).

Ответ: NaN

Решение №39596: По определению \(EF\), \(FD\) и \(AD\) - средние линии \(\Delta АВС\). По свойству средней линии треугольника: \(EF \parallel AC\) и \(EF = AC : 2 = AD\), \(ED \parallel BC\) и \(ED = BF = \fraq{1}{2} BC\) и \(DE \parallel AB\) и \(DF = AE = \fraq{1}{2}AB \rightarrow AEFD, DEFC, EBPD\) - параллелограммы (по признаку о двух сторонах) \(rightarrrow \angle A = \angle EFD; \angle B = = \angle EDF, \angle C = \angle FED\). Выпишем и вычислим соотношения: \(\fraq{AB}{DF} = AB : \fraq{1}{2}AB = 2; \fraq{BC}{ED} \fraq{1}{2} : 2 BC = 2\); \(\fraq{AC}{EF} = AC : \fraq{1}{2} AC = 2\) т.е. \(\fraq{AB{DF} = \fraq{BC}{ED} = \fraq{AC}{EF} = 2\). В \(\Delta CAB\) и \(\Delta EFD\) соответствующие углы равны, соответствующие стороны пропорциональны и козффициент пропорциональности равен \(2 \rightarrow \Delta CAB \sim \Delta EFD\), \(k = 2\).

Ответ: NaN

Решение №39597: \(DE\) - средняя линия \(\delta АВС\). По свойству средней линии \(DE \parallel AC\) и \(DE =\fraq{1}{2} AC\). \(\angle BDE = \angle BAC\) как соответетвенные при \(DE \parallel AC\) и секущей \(АВ\). \(\alnge BED = \alnge BCA\) как соответственные при \(DE \parallel AC\) и секущей \(BC\). \(\alnge DBE = \alnge АВС\), т. к. \(\alnge B\) - общий. Т. к. \(Е\) середина \(ВС\) и \(D\) - середина \(AB\), то \(ВЕ = \fraq{1}[2} BC\) и \( BD = \fraq{1}{2} AB\). Выпишем соотношения между сторонами: \(AC: DE = AC: \fraq{1}{2} AC = 2\), \(AB: BD = AB: \fraq{1}{2}AB = 2\), \(BC: BE = BC: \fraq{1}{2} BC = 2\). Следовательно, в \(\Delta АВС\) и \(\Delta DBE\) соответствущие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны \(\rightarrow \Delta АВС \sim \Delta DBE\) с коэффициентом подобия 2.

Ответ: NaN

Решение №39598: Пусть стороны \(АВ = 12 см\), \(ВС = 18 см\). Поскольку \(\Delta АВС \neq \Delta A_{1}B_{1}C_{1}\), то \(A_{1}C_{1} = 12см\), а \(A_{1}B_{1} = 18 см\). Из подобия треугольников следует: \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}}\); 1) \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = \fraq{BC}{B_{1}C_{1}} \rightarrow \fraq{12}{18} = \fraq{18}{B_{1}C_{1}} \rightarrow B_{1}C_{1} = \fraq{18 \cdot 18}{12} = \fraq{3 \cdot 18}{2} = 27 см\); 2) \(\fraq{BC}{B_{1}C_{1}} = \fraq{AC}{A_{1}C_{1}} \rightarrow AC = \fraq{BC \ cdot A_{1}C_{1}}{B_{1}C_{1}} = \fraq{18 \cdot 12}{27} = \fraq{2 \cdot 12}{3} = 8 см\) Ответ: /(27 см\) и \(8 см\).

Ответ: Ответ: /(27 см\) и \(8 см\).

Решение №39599: Доказательство (методом от противного): Поскольку \(\Delta АВС \sim \Delta A_{1}B_{1}C_{1}\), то \(\fraq{c}{d} = \fraq{a}{b} = \fraq{b}{c}\) Предположим, что коэффициент подобия \(k = 2\). Тогда \(\fraq{c}{d} = \fraq{a}{b} = \fraq{b}{c} = 2 \rightarrow c = 2d; a = 2b\); \(b = 2c \rightarrow c = 2d, a = 4c, b= 2c\) Рассмотрим \(\Delta ABC\):для его сторон должно быть выполнено неравенство треугольника, т. е. \(с + b > a\), \(a + b > c\), \(а + с > b\), но неравенство \(с + b > а\) не выполнено т. к. \(b = 2c, а = 4c \rightarrow с + 2 \not > 4с\ \rightarrow\) предположение не верно, т. e. \(k \neq 2\).

Ответ: NaN

Решение №39600: Ошибка доказательства в том, что в последней строке \((AO \cdot DO - BO \cdot C) \cdot AB = (AO \cdot DO - BO \cdot CO) \cdot CD\) разделили на выражение в скобках, а оно равно 0, На нуль делить нельзя.

Ответ: NaN

Решение №39601: Поскольку \(\Delta АВС \sim \Delta ACD\), то \(\angle BAC = \angle CAD, \angle ABC = \angle ACD \rightarrow \angle BCA = \angle CDA\). \(BC \parallel AD \rightarrow \angle BCA = \angle CAD\) как внутренние накрест лежащие при \(ВС \parallel AD\) и секущей \(АС\). Следовательно, в \(\Delta АВС: \angle BCA = \angle BAC\), а в \(\Delta CAD: \angle CAD = \angle CDA \rightarrow \Delta АВС\) равнобедренный и \(\Delta ACD\) равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника \(\rightarrow AB = ВС, AC = CD\). По определению подобных треугольников: \(\fraq{AB}{AC} = \fraq{AC}{AD} = \fraq{BC}{CD}\); \(\fraq{4}{AC} = \fraq{AC}{9} = \fraq{4}{CD}\); \(\fraq{4}{AC} = \fraq{AC}{9} \rightarrow AC^{2} = 36; AC= 6см\) Ответ: \(6 cм\).

Ответ: Ответ: \(6 cм\).

Решение №39602: Поскольку \(\Delta АВС ~ \Delta ACD\), То \(\angle BAC = \angle CAD, \angle ABC = \angle ACD, \angle BCA= \angle CDA\). \(\Delta ACD\) - равнобедренный => \(\angle CAD = \angle CDA\) (по свойству равнобедренного треугольника). \(ВС \parallel AD \rightarrow \angle BCA = \angle CAD\) - как внутренние накрест лежащие при \(ВС \parallel АD\) и секущей \(АС\). Следовательно, в \(\Delta АВС: \angle BAC = \angle BCA \rightarrow \Delta ABC\) -равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника) \(\rightarrow AB = BC\). По определению подобных треугольников: \(\fraq{AC}{AD} = \fraq{AB}{AC} = \fraq{BC}{CD}\); \(\fraq{9}{12} = \fraq{12}{AD} = \fraq[9}{12}\); \(AD = \fraq{12 \cdot 12}{9} = \fraq{4 \cdot 12}{3} = 16 см\). \(P_{ABCD} = AB + BC + CD+ AD = 2 \cdot 9 + 12 + 16 = 46 см\) Ответ: \(46 см\)

Ответ: Ответ: \(46 см\)