№39618

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, определения подобных треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Диагональ \(АС\) трапеции \(АВСD\) \(AD \parallel BC\) равна стороне \(СВ\) и делит трапецию на два подобных треугольника \(АВС\) и \(АСВ\). Найдите периметр трапеции, если \(АВ = 9 см\), \(СВ = 12 см\).

Ответ

Ответ: \(46 см\)

Решение № 39602:

Поскольку \(\Delta АВС ~ \Delta ACD\), То \(\angle BAC = \angle CAD, \angle ABC = \angle ACD, \angle BCA= \angle CDA\). \(\Delta ACD\) - равнобедренный => \(\angle CAD = \angle CDA\) (по свойству равнобедренного треугольника). \(ВС \parallel AD \rightarrow \angle BCA = \angle CAD\) - как внутренние накрест лежащие при \(ВС \parallel АD\) и секущей \(АС\). Следовательно, в \(\Delta АВС: \angle BAC = \angle BCA \rightarrow \Delta ABC\) -равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника) \(\rightarrow AB = BC\). По определению подобных треугольников: \(\fraq{AC}{AD} = \fraq{AB}{AC} = \fraq{BC}{CD}\); \(\fraq{9}{12} = \fraq{12}{AD} = \fraq[9}{12}\); \(AD = \fraq{12 \cdot 12}{9} = \fraq{4 \cdot 12}{3} = 16 см\). \(P_{ABCD} = AB + BC + CD+ AD = 2 \cdot 9 + 12 + 16 = 46 см\) Ответ: \(46 см\)