№39617

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, определения подобных треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Диагональ \(АС\) делит трапецию \(АВСD\) \(АВ \parallel ВС\) на два подобных треугольника \(АВС\) и \(АСО\). Найдите \(АС\), если \(ВС = 4 см\), \(АВ = 9 см\).

Ответ

Ответ: \(6 cм\).

Решение № 39601:

Поскольку \(\Delta АВС \sim \Delta ACD\), то \(\angle BAC = \angle CAD, \angle ABC = \angle ACD \rightarrow \angle BCA = \angle CDA\). \(BC \parallel AD \rightarrow \angle BCA = \angle CAD\) как внутренние накрест лежащие при \(ВС \parallel AD\) и секущей \(АС\). Следовательно, в \(\Delta АВС: \angle BCA = \angle BAC\), а в \(\Delta CAD: \angle CAD = \angle CDA \rightarrow \Delta АВС\) равнобедренный и \(\Delta ACD\) равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника \(\rightarrow AB = ВС, AC = CD\). По определению подобных треугольников: \(\fraq{AB}{AC} = \fraq{AC}{AD} = \fraq{BC}{CD}\); \(\fraq{4}{AC} = \fraq{AC}{9} = \fraq{4}{CD}\); \(\fraq{4}{AC} = \fraq{AC}{9} \rightarrow AC^{2} = 36; AC= 6см\) Ответ: \(6 cм\).