№39612

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, определения подобных треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Докажите, что треугольник с вершинами в серединах сторон данного треугольника подобен данному. Чему равен коэффициент подобия?

Ответ

NaN

Решение № 39596:

По определению \(EF\), \(FD\) и \(AD\) - средние линии \(\Delta АВС\). По свойству средней линии треугольника: \(EF \parallel AC\) и \(EF = AC : 2 = AD\), \(ED \parallel BC\) и \(ED = BF = \fraq{1}{2} BC\) и \(DE \parallel AB\) и \(DF = AE = \fraq{1}{2}AB \rightarrow AEFD, DEFC, EBPD\) - параллелограммы (по признаку о двух сторонах) \(rightarrrow \angle A = \angle EFD; \angle B = = \angle EDF, \angle C = \angle FED\). Выпишем и вычислим соотношения: \(\fraq{AB}{DF} = AB : \fraq{1}{2}AB = 2; \fraq{BC}{ED} \fraq{1}{2} : 2 BC = 2\); \(\fraq{AC}{EF} = AC : \fraq{1}{2} AC = 2\) т.е. \(\fraq{AB{DF} = \fraq{BC}{ED} = \fraq{AC}{EF} = 2\). В \(\Delta CAB\) и \(\Delta EFD\) соответствующие углы равны, соответствующие стороны пропорциональны и козффициент пропорциональности равен \(2 \rightarrow \Delta CAB \sim \Delta EFD\), \(k = 2\).