№39607

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, определения подобных треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Прямая \(MN\) параллельна основаниям трапеции \(ABCD\) (см. рис. ниже). Найдите: а) сторону \(CD\), если \(АМ : АВ = 4 : 5\), \(CN = 3\) см; б) сторону \(AB\), если \(АМ : ND = 3 : 2\), \(CN = 2\) см, \(AM = 9\) см.

Ответ

а) 15 см; б) 12 см.

Решение № 39591:

По теореме о пропориональных отрезках: \(\fraq{AM}{AB} = \fraq{DN}{DC}\). a) \(\fraq{DN}{DC} = \fraq{AM}{AB} = \fraq{4}{5}\). Пусть \(DN = х\) см, тогда \(DC = x + 3\) (см) \(\Rightarrow \fraq{x}{x + 3} = \fraq{4}{5} \Rightarrow 5x = 4x + 12 \Rightarrow х = 12\) см \(\Rightarrow DC = 15\) см. б) \(\fraq{AM}{AB} = \fraq{DN}{DC}\). Используя свойство пропорции, данное равенство можно записать в виде \(\fraq{AM}{DN} = \fraq{AB}{DC} = \fraq{3}{2}\); \(\fraq{AM}{DN} = \fraq{3}{2} \Rightarrow DN = \fraq{2AM}{3} = \fraq{2 \cdot 9}{3} = 6\) (см). T. к. \(DN + NC = CD\), то \(CD = 8\) см; \(\fraq{BA}{DC} = \fraq{3}{2} \Rightarrow AB = \fraq{DC \cdot 3}{2} = \fraq{8 \cdot 3}{2} = 12\) (см).