Задачи
Задачи
Фильтрация
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17500: ОДЗ: \( x-3\neq 0, x\neq 3 \) Из условия \( 2\log _{3}\left | x-3 \right |+\log _{3}\left | x-3 \right |=3, 3\log _{3}\left | x-3 \right |=3 , \log _{3}\left | x-3 \right |=1 \), откуда \( \left | x-3 \right |=3 \) Тогда \( \left ( x-3 \right )_{1}=-3 \), или \( \left ( x-3 \right )_{2}=3 \) Отсюда \( x_{1}=0, x_{2}=6 \)
Ответ: 0; 6
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17501: ОДЗ: \( x> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( 4^{2\log _{9}x}+2\log _{3}3=0.2\left ( 16*4^{\log _{9}x}-4^{\log _{9} x} \right ), 4^{2\log _{9}x} -3 *4^{ \log _{ 9} x} +2 =0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 4^{\log _{9}x} \), найдем \( \left ( 4^{\log _{9}x} \right )_{1}=1 \), откуда \( \left ( \log _{9}x \right )_{1}=0, x_{1}=1 \), или \( \left ( 4^{\log _{9}x} \right )_{2}=2 \), откуда \( \left ( log_{9}x \right )_{2}=\frac{1}{2}, x_{2}=3 \)
Ответ: 1, 3
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17502: ОДЗ: \( x> 1 \) Из условия имеем \( 16\lg ^{4}\left ( x-1 \right )+9\lg ^{2}\left ( x-1 \right )-25=0 \) Решая это уравнение как биквадратное относительно \( \lg ( x-1 \right ) \), получим \( \lg ^{2}\left ( x-1 \right )=1 \Rightarrow \lg ( x-1 \right )=-1 \), или \( \lg ( x-1 \right )=1 \), откуда \( x_{1}=1.1, x_{2}=11 \)
Ответ: 1,1; 11
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17503: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x+10> 0 & & & \\ 2x-1> 0, x> \frac{20}{21} & & & \\ 21x-20> 0 & & & \end{matrix}\right. lg5+lg\left ( x+10 \right )=lg10-lg\left ( 2x-1 \right )+lg\left ( 21x-20 \right \)Leftrightarrow \lg 5\left ( x+10 \right )=\lg \frac{10*\left ( 21x-20 \right )}{2x-1}\Rightarrow 5\left ( x+10 \right )=\frac{10*\left ( 21x-20 \right )}{2x-1} \) , откуда \( 2x^{2}-23x+30= 0 \) Решая это уравнение, имеем \( x_{1}=1.5; x_{2}=10 \)
Ответ: 1,5; 10
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17504: Из условия \( \log _{6}\left ( 3^{x^{2}}+1 \right )-\log _{6}\left ( 3^{2-x^{2}}+9 \right )=\log _{6}2-\log _{6}6, \log _{6}\frac{3^{x^{2}}+1}{3^{2-x^{2}}+9}=\log _{6}\frac{2}{6}, \frac{3^{x^{2}}+1}{9*3^{-x^{2}}+9}=\frac{2}{6}, 3^{2x^{2}}-2 *3^{ x^{ 2}} -3 =0 \) . Решая это уравнение как квадратное относительно \( 3 ^{x^{2}} \) , получим \( 3^{x^{2}}=-1 \) (не подходит) или \( 3^{x^{2}}=3 \) , откуда \( x^{2}=1, x_{1,2}=\pm 1 \) .
Ответ: -1; 1
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17505: Имеем \( 10*10^{x^{2}}-\frac{10}{10^{x^{2}}}-99=0\Rightarrow 10*10^{2x^{2}}-99*10^{x^{2}}-10=0 \) Решив это уравнение как вадратное относительно \( 10^{x^{2}} \), получим \( 10^{x^{2}}=-\frac{1}{10}, \varnothing \), или \( 10^{x^{2}}=10 \), откуда \( x^{2}=1, x_{1,2}=\pm 1 \)
Ответ: -1; 1
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17506: ОДЗ: \( x> 0 \) Имеем \( 3^{3\lg x}-7*3^{2\lg x}-21*3^{\lg x}+27=0, \left ( 3^{3\lg x}+27 \right )-7*3^{\lg x}\left ( 3^{\lg x}+3 \right )=0, \left ( 3^{\lg x}+3 \right \)left ( 3^{2\lg x}-3*3^{\lg x}+9 \right )-7*3^{\lg x}\left ( 3^{\lg x}+3 \right )=0, \left ( 3^{\lg x}+3 \right \)left ( 3^{2\lg x}-10*3^{\lg x}+9=0 \right ) \), откуда \( 3^{2\lg x}-10*3^{\lg x}+9=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 3^{\lg x} \), получаем \( \left (3^{\lg x} \right )_{1}=1 \) или \( \left (3^{\lg x} \right )_{2}=9 \), откуда \( \left ( \lg x \right )_{1}=0 \) или \( \left ( \lg x \right )_{2}=2 \) Отсюда \( x_{1}=1, x_{2}=100 \)
Ответ: 1; 100
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17507: Из условия \( 10^{x^{2}-3}=10^{3x-5}, x^{2}-3=3x-5, x^{2}-3x+2=0 \), откуда \( x_{1}=1, x_{2}=2 \)
Ответ: 1; 2
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17508: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & \\ 5-x^{2}> 0, & & \end{matrix}\right. 0< x< \sqrt{5} \) Из условия \( \lg x^{2}+\lg \left ( 5-x^{2} \right )=\lg 4, \lg \left (x^{2}\left ( 5-x^{2} \right ) \right )=\lg 4, x^{2}-\left ( 5-x^{2} \right )=4, x^{4}-5x^{2}+4=0 \) Решая это уравнение как биквадратное относительно \( x \), найдем \( x_{1}=-1, x_{2}=1, x_{3}=-2, x_{4}=2; x_{1}=-1 , x_{3}=-2 \) не подходят по ОДЗ.
Ответ: 1; 2
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17509: Перепишем уравнение в виде \( \frac{5^{x}}{5}+\frac{125}{5^{x}}-26=0 \Leftrightarrow 5^{2x}-130*5^{x}+625=0 \) Решая его как квадратное относительно \( 5^{x} \), получим \( \left ( 5^{x} \right )_{1}=5 \), или \( \left ( 5^{x} \right )_{2}=5^{3} \), откуда \( x_{1}=1, x_{2}=3 \)
Ответ: 1; 3
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17510: ОДЗ: \( 3x+4> 0, x> -\frac{4}{3} \) Имеем \( \lg \frac{3x^{2}+12x+19}{3x+4}=1, \frac{3x^{2}+12x+19}{3x+4}=10, 3x^{2}-18x-21=0 \) при \( 3x+4\neq 0 \) Отсюда \( x_{1}=-1, x_{2}=7 \)
Ответ: -1; 7
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17511: ОДЗ: \( x^{2}-8x\geq 0, x\epsilon \left ( -\infty ;0 \right ]\cup \left [ 8;+\infty \right ) \) Имеем \( 2*2^{2\sqrt{x^{2}-8x}}-17*2^{\sqrt{x^{2}-8x}}+8=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{\sqrt{x^{2}-8x}} \), получаем \( 2^{\sqrt{x^{2}-8x}}=2^{-1} \), откуда \( \sqrt{x^{2}-8x}=-1, \varnothing \); или \( 2^{\sqrt{x^{2}-8x}}=8 \), откуда \( \sqrt{x^{2}-8x}=3 , x^{2}-8x=9 , x^{2}-8x-9=0, x_{1}=-1, x_{2}=9 \)
Ответ: -1; 9
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17512: ОДЗ: \( x\left ( x+9 \right )> 0, x\epsilon \left ( -\infty ;-9 \right \)cup \left ( 0;\epsilon \right ) \) Имеем \( \lg \frac{x\left ( x+9 \right \)left ( x+9 \right )}{x}=0 \), откуда \( \left ( x+9 \right )_{2}=1 \) Тогда \( \left ( x+9 \right )^{1}=-1, x_{1}=-10 \) или \( \left ( x+9 \right )^{2}=1, x_{2}=-8; x_{2}=-8 \) не подходит по ОДЗ.
Ответ: -10
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17513: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x^{2}> 0, & & \\ -x> 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x< 0 \) Из условия имеем \( \lg ^{2}\left ( -x \right )-6\lg \left ( -x \right )+9=0, \left ( \lg \left ( -x \right )-3 \right )^{2}=0 \), откуда \( \lg \left ( -x \right )=3 \Rightarrow -x=10^{3}=1000, x=-1000 \)
Ответ: -1000
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17514: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 5-x> 0 & & \\ 11-x> 0, x< 5 & & \end{matrix}\right. \log _{2}182-\log _{2}\left ( 5-x \right )=\log _{2}\left ( 11-x \right )+\log _{2}2\Rightarrow \log _{2}\frac{182}{5-x}=\log _{2}\left ( 11-x \right )*2, \frac{182}{5-x}=2\left ( 11-x \right ) \), откуда \( x^{2}-16x-36=0, x_{1}=-2, x_{2}=18; x_{2}=18 \) не подходит по ОДЗ.
Ответ: -2
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17515: ОДЗ: \( 25^{x+3}-1> 0, 25^{x+3}> 25^{\circ}, x> -3 \) Из условия \( \log _{2}\left ( 25^{3}*25^{x}-1 \right )=\log _{2}4\left ( 5^{3}*5^{x}-1 \right ), 25^{3}*5^{2x}-1=4*5^{3}*5^{x}+4, 3125*5^{2x}-100*5^{x}-1=0 \), откуда, решая это уравнение как квадратное относительно \( 5^{x} \), имеем \( 5^{x}=-\frac{1}{125}, \varnothing \); или \( 5^{x}=5^{-2} \), откуда \( x=-2 \)
Ответ: -2
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17516: Перепишем уравнение в виде \( 81*3^{2x}+45*3^{x}*2^{x}-36*2^{x}=0 \) Разделив его на \( 9*2^{2x} \), получим \( 9*\left ( \frac{3}{2} \right )^{2x}+5*\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}-4=0\Rightarrow \left ( \frac{3}{2} \right )^{x}=-1 \) (нет решений), или \( \left ( \frac{3}{2} \right )^{x}=\left ( \frac{3}{2} \right )^{-2} \), откуда \( x=-2 \)
Ответ: -2
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17517: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 5-x> 0 & & \\ 35-x^{3}> 0 & & \end{matrix}\right. x< \sqrt[3]{35} \) Из условия имеем \( 3\lg \left ( 5-x \right )=\lg \left ( 35 -x^{3} \right ) , \lg \left ( 5 -x \right )^{ 3}=\lg \left ( 35-x^{3} \right ) \), откуда \( \left ( 5-x \right )^{3}=35-x^{3} , x^{2}-5x+6=0 \) Тогда \( x_{1}=2 , x_{ 2}= 3 \)
Ответ: 2, 3
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17518: \( \lg 5^{\frac{x\left ( 13-x \right )}{2}}+\lg 2^{11}=11, \lg \left ( 5^{ \frac{x \left ( 13-x \right )}{2}}*2^{11} \right ) =11 \) . Отсюда имеем \( 5^{ \frac{x \left ( 13-x \right )}{2}}*2^{11} =10^{ 11} , 5^{\frac{x\left (13 -x \right )}{ 2}}=5^{ 11} \) Тогда \( \frac{x \left (13-x \right )}{2}=11, x^{2}-13x+22=0 \), откуда \( x_{1}=2; x_{2}= 11 \)
Ответ: 2; 11
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17519: Так как \( \sqrt{7+\sqrt{48}}=\frac{1}{\sqrt{7+\sqrt{48}}} \), то уравнение имеет вид \( \left ( \sqrt{7+\sqrt{48}} \right )^{z}+\frac{1}{\left ( \sqrt{7+\sqrt{48}} \right )^{z}}-14=0 \Leftrightarrow \left ( \sqrt{7+\sqrt{48}} \right )^{2z}-14\sqrt{7+\sqrt{48}}+1=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \left ( \sqrt{7+\sqrt{48}} \right )^{z} \), имеем \( \left ( \sqrt{7+\sqrt{48}} \right )^{z}=\left ( 7+\sqrt{48} \right )^{-1}, z_{1}=-2 \), или \( \left ( \sqrt{7+\sqrt{48}} \right )^{z}=7+\sqrt{48}, z_{2}=2\)
Ответ: -2; 2
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17520: Имеем \( \log _{5}\frac{2^{2x}+144}{16}=\log _{5}\left ( \frac{2^{x}}{4}+1 \right ), \frac{2^{2x}+144}{16}=\frac{5\left ( 2^{x}+4 \right )}{4}, 2^{2x}-20*2^{x}+64=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), получаем \( \left ( 2^{x} \right )_{1}=4 \), или \( \left ( 2^{x} \right )_{2}=16 \), откуда \( x_{1}=2, x_{2}=4 \)
Ответ: 2; 4
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17521: Очевидно, что \( x\neq 3 \), тогда \( \left | x-3 \right |> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( \left | x-3 \right |^{\frac{x+1}{4}}=\left | x-3 \right |^{\frac{x-2}{3}} \) Получаем два случая: 1\)( \left | x-3 \right |=1 \Rightarrow x_{1}=2, x_{2}=4\) ; 2) \( \left | x-3 \right |\neq 1 \Rightarrow \frac{x+1}{4}=\frac{x-2}{3} \Leftrightarrow 3x+3=4x-8, x_{3}=11 \)
Ответ: 2; 4; 11
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17522: Имеем \( 81 *\sqrt[3]{3^{x^{2}-8x}}=1 , 3^{ \frac{x^{2}-8x}{3}}=3^{-4} \), откуда \( \frac{x^{2}-8x}{3}=-4 , x^{2}-8x+23=0 ; x_{1}=2 ; x_{2}=6 \)
Ответ: 2; 6
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17523: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя обе части уравнения по основанию 4, имеем \( \log _{4}x^{\log _{4}x-2}=\log _{4}2^{3\left ( \log _{4}x-1 \right )}, \left ( \log _{4}x-2 \right \)log _{4}x=3\left ( \log _{4}x-1 \right \)log _{4}2, \log _{4}^{2}x-2\log _{4}x=\frac{3}{2}\left ( \log _{4}x-1 \right ), 2\log _{4}^{2}x-7\log _{4}x+3=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \log _{4}x \), найдем \( \left ( \log _{4}x \right )_{1}=\frac{1}{2}, \left ( \log _{4}x \right )_{2}=3 \) Следовательно, \( x_{1}=4^{\frac{1}{2}}=2, x_{2}=4^{3}=64 \)
Ответ: 2; 64
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17524: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x\neq 1 & & \\ x< 10 & & \end{matrix}\right.\) Переходя к основанию 2, имеем \( 1+\frac{\log _{2}\left ( 10-x \right )}{\log _{2}x}-\frac{4}{\log _{2}x}, \log _{2}x+\log _{2}\left ( 10-x \right )=4, \log _{2}x\left ( 10-x \right )=4\Rightarrow x^{2}-10x+16=0 \), откуда \( x_{1}=2, x_{2}=8 \)
Ответ: 2; 8
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17525: Имеем \( 5^{6}*5^{x}-43*5^{4}*5^{x}=3^{7}*3^{x}-19*3^{5}*3^{x}, \left ( \frac{5}{3} \right )^{x}=\left ( \frac{5}{3} \right )^{-3} \), откуда \( x=-3 \)
Ответ: -3
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17526: Из условия \( 7^{x}*2^{x^{2}-3}=7^{x}*2^{-x}\Rightarrow 2^{x^{2}-3}=2^{-x}, x^{2}-3=-2x, x^{2}+2x-3=0 \), откуда \( x_{1}=-3, x_{2}=1 \)
Ответ: -3; 1
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17527: Из условия \( \log _{3}\left ( 3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9} \right )=-1, 3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9}=\frac{1}{3}, 3^{x^{2}-13x+28}=\frac{1}{9}, 3^{x^{2}-13x+28}=3^{-2}, x^{2}-13x+28=-2, x^{2}-13x+30=0 \), откуда \( x_{1}=3, x_{2}=10 \)
Ответ: 3; 10
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17528: ОДЗ: \( 3^{3x}+x^{2}-9> 0 \) . Из условия \( 3x-\log _{6}8^{x}+\log _{6}\left ( 3^{3x}+x^{2}-9 \right ), 3x=\log _{6}8^{x}\left ( 3^{3x}+x^{2}-9 \right ) \), откуда \( 6^{3x}=8^{x}\left ( 3^{3x}+x^{2}-9 \right ), 3^{3x}=3^{3x}+x^{2}-9\Leftrightarrow x^{2}=9 \) . Тогда \( x_{1,2}=\pm 3 \) .
Ответ: -3; 3
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №17529: ОДЗ: \( x\neq 0. \lg \left ( x^{2}+1 \right )=\frac{2}{\lg \left ( x^{2}+1 \right )}-1, \lg ^{2}\left ( x^{2}+1 \right )+lg\left ( x^{2}+1 \right ) -2=0 \) . Решая это уравнение как квадратное относительно \( \lg \left ( x^{2} +1 \right ) \) , найдем \( \lg \left ( x^{2} +1 \right )= -2 и \lg \left ( x^{2} +1 \right ) = 1 \) . Отсюда \( x^{2} +1=0.01, x^{2}=-0.99, \O . x^{2}+1=10, x^{2}=9 \) . Тогда \( x_{1,2}=\pm 3 \) .
Ответ: -3; 3