№17508

Экзамены с этой задачей: Уравнения смешанного типа

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнения: \( 27^{\lg x}-7*9^{\lg x}-21*3^{\lg x}+27=0 \)

Ответ

1; 100

Решение № 17506:

ОДЗ: \( x> 0 \) Имеем \( 3^{3\lg x}-7*3^{2\lg x}-21*3^{\lg x}+27=0, \left ( 3^{3\lg x}+27 \right )-7*3^{\lg x}\left ( 3^{\lg x}+3 \right )=0, \left ( 3^{\lg x}+3 \right \)left ( 3^{2\lg x}-3*3^{\lg x}+9 \right )-7*3^{\lg x}\left ( 3^{\lg x}+3 \right )=0, \left ( 3^{\lg x}+3 \right \)left ( 3^{2\lg x}-10*3^{\lg x}+9=0 \right ) \), откуда \( 3^{2\lg x}-10*3^{\lg x}+9=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 3^{\lg x} \), получаем \( \left (3^{\lg x} \right )_{1}=1 \) или \( \left (3^{\lg x} \right )_{2}=9 \), откуда \( \left ( \lg x \right )_{1}=0 \) или \( \left ( \lg x \right )_{2}=2 \) Отсюда \( x_{1}=1, x_{2}=100 \)