Решение №38268: Пусть \(О\) - середина отрезка \(АВ\). Отрезок \(ОС\) пересекает окружность с диаметром \(АВ\) в некоторой точке \(D\), \(\angle ADC = 90^\circ\). Углы \(ADO\) и \(BDO\) больше углов \(АСО\) и \(ВСО\), поэтому \(\angle ACB < \angle ADB = 90^\circ\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38269: Пусть \(О\) - середина отрезка \(АВ\). Продолжение отрезка \(ОС\) за точку \(С\) пересекает окружность с диаметром \(АВ\) в некоторой точке \(D\), \(\angle ADC = 90^\circ\). Углы \(ADO\) и \(BDO\) меньше углов \(АСО\) и \(ВСО\), поэтому \(\angle ACB > \angle ADB = 90^\circ\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38270: Длина отрезка внутри круга не превосходит длины содержащей его хорды. Если хорда \(АВ\) отлична от диаметра, то можно провести диаметр \(АС\). Катет \(АВ\) прямоугольного треугольника меньше гипотенузы \(АС\).

Ответ: Нет.

Решение №38271: Углы \(BAD\) и \(BCD\) тупые, поэтому точки \(А\) и \(С\) лежат внутри круга с диаметром \(BD\). Отрезок, лежащий внутри круга, меньше диаметра этого круга.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38272: Достройте треугольник \(АВС\) до параллелограмма \(ABDC\). Медиана \(АМ\) равна половине диагонали \(AD\), и \(AD < AC + DC = AC + AB\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38273: Сложите неравенства \(AB < BM + AM\) и \(AC < CM + AM\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38274: Воспользуйтесь тем, что медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон треугольника. Пусть \(М\) - точка пересечения медиан треугольника. Воспользуйтесь тем, что \(AM + MB > AB\) и \(AM = \frac{2}{3}АА_{1}\), где \(A_{1}\) - середина стороны \(ВС\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38275: Точки \(А\) и \(С\) лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра к отрезку \(АВ\), поэтому медиана \(СС_{1}\) лежит по ту же сторону. В частности, точка \(М\), в которой пересекаются медианы, лежит по ту же сторону. Следовательно, \(АМ < ВМ\) и \(АА_{1} < ВВ_{1}\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38276: Воспользуйтесь неравенствами \(AB < ВС + АС\) и \(AC < CD + AD\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38277: Воспользуйтесь неравенствами \(A_{1}A_{n} < A_{1}A_{2} + A_{2}A_{n}\), \(A_{2}A_{n} < A_{2}A_{3} + A_{3}A_{n}\), ..., \(A_{n-2}A_{n} < A_{n-2}A_{n-1} + A_{n-1}A_{n}\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38278: Длина ломаной, соединяющей концы отрезка, больше длины этого отрезка.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38279: Пусть \(Р\) - точка пересечения луча \(AO\) и стороны \(ВС\). Сложите неравенства \(AB + BP > AO + OP\) и \(ОР + РС > ОС\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38280: Воспользуйтесь неравенствами \(АВ < AO + OB\) и \(АО + ОВ < АС + СВ\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38281: Длина отрезка \(В_{1}С_{1}\) меньше длины ломаной \(В_{1}ВСС_{1}\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38282: Воспользуйтесь тем, что \(A_{1}B_{1} < A_{1}C + CB_{1}\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38283: Если вершина \(А\) внутреннего треугольника \(АВС\) не лежит на стороне внешнего, то продолжите сторону \(АВ\) внутреннего треугольника за вершину \(А\) до пересечения со стороной внешнего треугольника в некоторой точке \(D\). Периметр треугольника \(DBC\) больше периметра треугольника \(АВС\). Эту операцию можно повторить и получить треугольник, все вершины которого лежат на сторонах внешнего треугольника.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38284: Докажите, что \(АВСМ\) и \(BCDM\) - параллелограммы. Достройте треугольник \(АВМ\) до параллелограмма \(АВС_{1}М\). Периметры треугольников \(ВС_{1}М\) и \(АВМ\) равны, поэтому равны периметры треугольников \(ВС_{1}М\) и \(ВСМ\). Следовательно, точки \(С_{1}\) и \(С\) совпадают, так как иначе один из треугольников \(ВС_{1}М\) и \(ВСМ\) лежал бы внутри другого и периметр внешнего треугольника был бы больше периметра внутреннего. Поэтому \(АВСМ\) - параллелограмм. Аналогично \(BCDM\) - параллелограмм.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38285: Сложите неравенства \(AC < AB + BC\) и \(AC < AD + DC\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38286: Воспользуйтесь тем, что диагональ четырёхугольника меньше половины его периметра.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38287: Пусть \(М\) и \(N\) - середины сторон \(АВ\) и \(CD\), \(К\) - cepeдина стороны \(ВС\). Тогда \(2MK = AC\), \(2NK = BD\) и \(MN < MK + NK\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38288: Отметьте на луче \(BN\) точку \(E\) так, что \(BE = 2BN\) (рис. 208).Тогда четырёхугольник \(BCED\) - параллелограмм, а отрезок \(MN\) - средняя линия треугольника \(АВЕ\). Поэтому \(MN = \frac{1}{2}AE \leq \frac{1}{2}(ВС + AD)\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38289: Пусть точка \(M\) - середина отрезка \(AB\). Тогда \(\angle ACM < \angle A\) и \(\angle BCM < \angle B\), поэтому \(\angle C < \angle A + \angle B\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38290: Воспользуйтесь тем, что \(\angle ADB = \frac{1}{2} \angle B + \angle C > \angle ABD\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38291: Отложите на стороне \(ВА\) отрезок \(ВС_{1}\), равный \(ВС\). Тогда \(\angle AC_{1}D > \angle C_{1}DB = \angle CDB > \angle A\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38292: Проведите прямую через точку \(А\) и центр окружности. Эта прямая пересекает окружность в точках \(C\) и \(D\); для определённости считайте, что \(АС < АD\). Пусть точка \(В\) отлична от точек \(С\) и \(D\). Тогда угол \(CBD\) прямой, поэтому угол \(ABD\) тупой и, следовательно, \(AD > АВ\). Угол \(BCD\) острый, поэтому угол \(АСВ\) тупой и, следовательно, \(АВ > АС\).

Ответ: NaN

Решение №38293: Проведите прямую через точку \(А\) и центр \(О\) окружности. Эта прямая пересекает окружность в точках \(С\) и \(D\); для определённости считайте, что \(АС < AD\). Пусть точка \(В\) отлична от точек \(С\) и \(D\). Тогда \(\angle BCA = \angle CBO > \angle CBA\) и \(\angle BDA = \angle DBO < \angle DBA\), поэтому \(AB > AC\) и \(AB < AD\).

Ответ: \(AB > AC\) и \(AB < AD\).

Решение №38294: Предположите, что \(ВС < \frac{1}{2}AB\). Тогда \(AC < BC < \frac{1}{2}AB\). Поэтому \(ВС + АС < АВ\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38295: Достройте треугольник \(АВС\) до параллелограмма \(ABCD\).

Ответ: NaN

Решение №38296: Воспользуйтесь тем, что \(\angle ABD = 90^\circ + \frac{1}{2} (\angle B - \angle A)\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38297: Предположим, что на аэродроме \(О\) приземлилось по крайней мере 6 самолётов. Тогда можно выбрать аэродромы \(А\) и \(В\) так, что: 1\) самолёты из \(А\) и \(В\) приземлились в \(О\); 2\) угол \(АОВ\) не превосходит \(\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\). Из 1\) следует, что \(АО < АВ\) и \(ВО < ВА\), а из 2\) следует, что сторона \(AB\) треугольника \(АОВ\) не больше одной из сторон \(АO\) и \(ВО\).

Ответ: Утверджение доказано.