№38309

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Точка \(А\) расположена внутри окружности, но не в её центре. При каком положении точки \(В\) на окружности отрезок \(АВ\): а) самый длинный; б) самый короткий?

Ответ

\(AB > AC\) и \(AB < AD\).

Решение № 38293:

Проведите прямую через точку \(А\) и центр \(О\) окружности. Эта прямая пересекает окружность в точках \(С\) и \(D\); для определённости считайте, что \(АС < AD\). Пусть точка \(В\) отлична от точек \(С\) и \(D\). Тогда \(\angle BCA = \angle CBO > \angle CBA\) и \(\angle BDA = \angle DBO < \angle DBA\), поэтому \(AB > AC\) и \(AB < AD\).