№38300

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На основании \(AD\) трапеции \(АВСD\) отмечена точка \(М\). Ивестно, что периметры треугольников \(АВМ\), \(МВС\) и \(СМD\) равны. Докажите, что \(AD = 2BC\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38284:

Докажите, что \(АВСМ\) и \(BCDM\) - параллелограммы. Достройте треугольник \(АВМ\) до параллелограмма \(АВС_{1}М\). Периметры треугольников \(ВС_{1}М\) и \(АВМ\) равны, поэтому равны периметры треугольников \(ВС_{1}М\) и \(ВСМ\). Следовательно, точки \(С_{1}\) и \(С\) совпадают, так как иначе один из треугольников \(ВС_{1}М\) и \(ВСМ\) лежал бы внутри другого и периметр внешнего треугольника был бы больше периметра внутреннего. Поэтому \(АВСМ\) - параллелограмм. Аналогично \(BCDM\) - параллелограмм.