№38290

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что сумма медиан любого треугольника меньше периметра, но больше \(\frac{3}{4}\) периметра.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38274:

Воспользуйтесь тем, что медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон треугольника. Пусть \(М\) - точка пересечения медиан треугольника. Воспользуйтесь тем, что \(AM + MB > AB\) и \(AM = \frac{2}{3}АА_{1}\), где \(A_{1}\) - середина стороны \(ВС\).