№38313

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, геометрические неравенства, Неравенства для элементов треугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

С каждого из нескольких аэродромов, все попарные расстояния между которыми различны, взлетел самолёт и совершил посадку на ближайшем аэродроме. Докажите, что ни на одном аэродроме не могло приземлиться более пяти самолётов.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38297:

Предположим, что на аэродроме \(О\) приземлилось по крайней мере 6 самолётов. Тогда можно выбрать аэродромы \(А\) и \(В\) так, что: 1\) самолёты из \(А\) и \(В\) приземлились в \(О\); 2\) угол \(АОВ\) не превосходит \(\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\). Из 1\) следует, что \(АО < АВ\) и \(ВО < ВА\), а из 2\) следует, что сторона \(AB\) треугольника \(АОВ\) не больше одной из сторон \(АO\) и \(ВО\).