Решение №17087: \(\left ( \frac{\left ( a-1 \right )^{-1}}{a^{-3}}-\left ( 1-a \right )^{-1} \right )\cdot \frac{1+a\left ( a-2 \right )}{a^{2}-a+1}\cdot \sqrt{\frac{1}{\left ( a+1 \right )^{2}}}=\left ( \frac{\frac{1}{a-1}}{\frac{1}{a^{3}}}-\frac{1}{1-a} \right )\cdot \frac{1+a^{2}-2a}{a^{2}-a+1}\cdot \frac{1}{\left | a+1 \right |}=\left ( \frac{a^{3}}{a-1}+\frac{1}{a-1} \right )\cdot \frac{a^{2}-2a+1}{a^{2}-a+1}\cdot \frac{1}{\left | a+1 \right |}=\frac{a^{3}+1}{a-1}\cdot \frac{\left ( a-1 \right )^{2}}{a^{2}-a+1}\cdot \frac{1}{\left | a+1 \right |}=\frac{\left ( a+1 \right )\left ( a-1 \right )}{\left | a+1 \right |}=1-a,a-1\)

Ответ: \(1-a,a-1\)

Решение №17096: \(5\sqrt{48\sqrt[3]{\frac{2}{3}}}+\sqrt{32\sqrt[3]{\frac{9}{4}}}-11\sqrt[3]{12\sqrt{8}}=5\sqrt{16\cdot 3\sqrt[3]{\frac{2}{3}}}+\sqrt{16\cdot 2\sqrt[3]{\frac{9}{4}}}-11\sqrt[3]{12\cdot 2\sqrt{2}}=20\sqrt{\sqrt[3]{18}}+4\sqrt{\sqrt[3]{18}}-22\sqrt[3]{\sqrt{9\cdot 2}}=24\sqrt{\sqrt[3]{18}}-22\sqrt{\sqrt[3]{18}}=2\sqrt[6]{18}\)

Ответ: \(2\sqrt[6]{18}\)

Решение №17108: \(\frac{a+b}{\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}}\left ( \frac{3ab-b\sqrt{ab}+a\sqrt{ab}-3b^{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{4}}\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )^{2}-1}+\frac{4ab\sqrt{a}+9ab\sqrt{b}-9b^{2}\sqrt{a}}{\frac{3}{2}\sqrt{b}-2\sqrt{a}} \right )=\frac{a+b}{\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}}\left ( \frac{\left ( a-b \right )\left ( 3b+\sqrt{ab} \right )}{\frac{1}{4ab}\sqrt{\left ( a^{2}-b^{2} \right )^{2}}}-2\sqrt{ab}\left ( \sqrt{a}+3\sqrt{b} \right ) \right )=\frac{a+b}{\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}}\left ( \frac{4ab\left ( a-b \right )\left ( 3b +\sqrt{ab}\right )}{a^{2}-b^{2}}-2\sqrt{ab}\left ( \sqrt{a}+3\sqrt{b} \right ) \right )=\frac{a+b}{a-2\sqrt{ab}+b}\cdot 2\sqrt{ab}\left ( \frac{2\sqrt{a}\left ( 3b+\sqrt{a} \right )}{a+b}-\left ( \sqrt{a}+3\sqrt{b} \right ) \right )=\frac{-2\sqrt{ab}\left ( a\sqrt{a}-5\sqrt{ab}+a\sqrt{b}+3b\sqrt{b} \right )}{a-2\sqrt{ab}+b}=-2\sqrt{ab}\left ( \sqrt{a}+3\sqrt{b} \right )=-2b\left ( a+3\sqrt{ab} \right )\)

Ответ: \(-2b\left ( a+3\sqrt{ab} \right )\)

Решение №17123: \(\left ( \left ( a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}} \right )^{-1}\left ( a^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{3}{2}} \right )-\frac{1}{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{-2}} \right ):\sqrt[3]{ab\sqrt{ab}}+\frac{1}{1+\left ( a\left ( 1-a^{2} \right )^{-\frac{1}{2}} \right )^{2}}=\left ( \frac{a^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}-\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{2} \right ):\sqrt{ab}+\frac{1}{1+\frac{a^{2}}{1-a^{2}}}=\left ( a+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+b-a-2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}-b \right )\cdot \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}+1-a^{2}=-a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}+1-a^{2}=1+1-a^{2}=-a^{2}\)

Ответ: \(-a^{2}\)

Решение №17133: \(x\sqrt[3]{2x\sqrt{xy}-x\sqrt{3xy}}\cdot \sqrt[6]{x^{2}y\left ( 7+4\sqrt{3} \right )}=x\sqrt[3]{x\sqrt{xy\left ( 2-\sqrt{3} \right )}}\cdot \sqrt[6]{x^{3}y\left ( 7+4\sqrt{3} \right )}=x\sqrt[3]{x\sqrt{xy}\left ( 2-\sqrt{3} \right )}\cdot \sqrt[6]{\left | x \right |\sqrt{xy}\left ( 2+\sqrt{3} \right )}=x\sqrt[3]{x\left | x \right |\left | x \right |\left | y \right |}=x\sqrt[3]{x^{3}\left | y \right |}=x\cdot x\cdot \left | \sqrt[3]{y} \right |=x^{2}\left | \sqrt[3]{y} \right |\)

Ответ: \(x^{2}\left | \sqrt[3]{y} \right |\)

Решение №17139: \(\frac{\left ( z-z\sqrt{z}+2-2\sqrt{z} \right )^{2}\left ( 1+\sqrt{z} \right )^{2}}{z-2+\frac{1}{z}}-z\sqrt{z}\sqrt{\frac{4}{z}+4+z}=\frac{\left ( 1-z \right )^{2}\left ( z+2 \right )^{2}z}{\left ( z-1 \right )^{2}}-z\left ( 2+z \right )=\left ( z+2 \right )^{2}z-z\left ( 2+z \right )=\left ( z+2 \right )z\left ( z+2-1 \right )=z\left ( z+1 \right )\left ( z+2 \right )\)

Ответ: \(z\left ( z+1 \right )\left ( z+2 \right )\)

Решение №17159: Докажите, что \(\Delta AMD = \Delta CME\) и \(\Delta ACE = \Delta CAD\).

Ответ: NaN

Решение №17160: Воспользуйтесь тем, что \(\angle ABM = \angle AMB = \angle CNB = \angle CBN\).

Ответ: NaN

Решение №17161: Сначала докажите равенство углов \(ВКС\) и \(BAL\) (рис. 71), а затем равенство треугольников \(ABL\) и \(КВС\).

Ответ: NaN

Решение №17162: Треугольники \(ABD\) и \(АВЕ\) равны. Если точка \(С\) лежит на продолжении луча \(АВ\), то \(\angle CAD=\angle BAD = \angle BAE = \angle CAE \). Если точка \(С\) лежит на продолжении луча \(АВ\), то \(\angle CAD= 180^{\circ} -\angle BAD= 180^{\circ} - \angle BAE = \angle CAE\). В обоих случаях \(\angle CAD= \angle CAE\) , поэтому \(\Delta CAD = \Delta CAE\).

Ответ: NaN

Решение №17163: Сначала докажите равенство треугольников \(АВО\) и \(ОСМ\) (по двум сторонам и углу между ними, см. рис. ниже), а затем воспользуйтесь равенством углов \(АОК\) и \(МОС\).

Ответ: NaN

Решение №17164: Пусть точка \(М\) — середина отрезка \(ВС\) (см. рис. ниже). Тогда \(\Delta LBK = \Delta MBK\) (по двум сторонам и углу между ними) и \(\Delta KMC = \Delta ALB\) (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: NaN

Решение №17165: Пусть \(М\) — середина стороны \(АС\) (см. рис. ниже). Треугольники \(ABD\) и \(АMD\) равны (по в двум сторонам и углу между ними). Поэтому \(\angle ABD = \angle AMD = 90^{\circ}\).

Ответ: 90

Решение №17166: Возьмите равнобедренный треугольник \(АВС\), отметьте точку \(D\) на его основании \(АС\) (или на продолжении основания) и рассмотрите треугольники \(ABD\) и \(CBD\) (см. рис. ниже).

Ответ: Да.

Решение №17167: Возьмите равнобедренный треугольник \(АВС\), отметьте точку \(D\) на его основании \(АС\) и рассмотрите треугольники \(ABD\) и \(CBD\) (см. рис. ниже).

Ответ: Да.

Решение №17168: Возьмите равнобедренный треугольник \(АВС\) с основанием \(АС\), отметьте точку \(D\) на стороне \(ВС\) так, что \(АD = АС\), и рассмотрите треугольники \(АВС\) и \(CAD\) (см. рис. ниже).

Ответ: Да.

Решение №17232: Биссектриса \(AD\) делит угол \(А\) пополам, поэтому \(\angle EAD = \angle DAC\). Накрест лежащие углы \(\angle DAC\) и \(\angle EDA\) равны. Следовательно, \(\angle EAD = \angle EDA\). Таким образом, треугольник \(ADE\) равнобедренный и \(АЕ = ED\).

Ответ: NaN

Решение №17233: Проведём через некоторую точку прямые, параллельные данным прямым. Эти прямые разделяют плоскость на 5 пар вертикальных углов, поэтому угол между некоторыми двумя из этих прямых не превосходит \(\frac{360^{\circ}}{10}=36^{\circ}\). Прямые, параллельные этим двум прямым, тоже образуют угол, не превосходящий \(36 ^{\circ}\).

Ответ: NaN

Решение №17234: Сначала проведём перпендикуляр \(АН\) к прямой а, а затем через точку \(А\) проведём перпендикуляр к прямой \(АН\) (см. рис. ниже). При пересечении прямой а и построенной прямой секущей \(АН\) образуются прямые углы, поэтому эти прямые параллельны.

Ответ: NaN

Решение №17235: Прямые, проходящие через вершину угла, образованного данными прямыми, и образующие с этими прямыми равные углы, — это биссектрисы углов, образованных данными прямыми. Поэтому искомая прямая проходит через данную точку параллельно одной из биссектрис. Задача имеет два решения.

Ответ: NaN

Решение №17236: Возьмите две параллельные прямые \(а\) и \(b\) и две прямые, которые пересекают их и сами пересекаются в точке, не лежащей на прямых \(а\) и \(b\).

Ответ: Да.

Решение №17237: Возьмите три параллельные прямые и прямую, их пересекающую

Ответ: Да.

Решение №17238: Проведите две прямые через точку на одной из параллельных прямых

Ответ: Да.

Решение №17239: См. рис. ниже

Ответ: Да.

Решение №17240: Возьмите три попарно пересекающиеся прямые и проведите параллельно каждой из них две прямые.

Ответ: Да.

Решение №17241: Треугольники \(0BD\) и \(ОСЕ\) равнобедренные.

Ответ: NaN

Решение №17242: Треугольники \(ОВР\) и \(OCQ\) равнобедренные.

Ответ: NaN

Решение №17243: Треугольники \(АВС\) и \(ABD\) равнобедренные.

Ответ: NaN

Решение №17244: Пусть точка \(О\) — точка пересечения указанных биссектрис. Тогда треугольники \(ОМВ\) и \(ONC\) равнобедренные.

Ответ: NaN

Решение №17245: Прямая, проходящая через вершину \(А\) параллельно стороне \(ВС\), разделяет внешний угол на углы, равные углам \(В\) и \(С\).

Ответ: NaN