Решение №43624: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = ||x| - 4| \) на отрезке \([-3; 3]\) без использования производной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотрим функцию \( y = ||x| - 4| \).
2. Разделим отрезок \([-3; 3]\) на два подынтервала: \([-3; 0)\) и \((0; 3]\).
3. На подынтервале \([-3; 0)\): \[ y = ||x| - 4| = |-x - 4| = |-x - 4| = |-x - 4| = -(x + 4) \] Поскольку \( x \) отрицательно, то \( -x \) положительно, и модуль можно убрать: \[ y = -(x + 4) \]
4. На подынтервале \((0; 3]\): \[ y = ||x| - 4| = |x - 4| = |x - 4| \] Поскольку \( x \) положительно, то \( x - 4 \) отрицательно, и модуль можно убрать: \[ y = 4 - x \]
5. Теперь найдем значения функции на концах отрезка и в точке \( x = 0 \): \[ y(-3) = |-3 - 4| = |-7| = 7 \] \[ y(0) = |0 - 4| = 4 \] \[ y(3) = |3 - 4| = |-1| = 1 \]
6. Сравним полученные значения: \[ y(-3) = 7 \] \[ y(0) = 4 \] \[ y(3) = 1 \]
7. Определим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
   Наибольшее значение: \( 7 \)
   Наименьшее значение: \( 1 \)

Ответ: \(y_{наиб}=4\),\(y_{наим}=1\).

Решение №43625: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = |3 - |x|| \) на отрезке \([-4; 4]\) без использования производной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотрим функцию \( y = |3 - |x|| \) и проанализируем её поведение на различных интервалах.
2. Разделим функцию на несколько частей в зависимости от значений \( x \):
\[ y = \begin{cases} 3 - x & \text{если } 0 \leq x \leq 3 \\ x - 3 & \text{если } x > 3 \\ 3 + x & \text{если } -3 \leq x < 0 \\ -x - 3 & \text{если } x < -3 \end{cases} \]
3. Проанализируем поведение функции на каждом интервале:
• Для \( 0 \leq x \leq 3 \): \( y = 3 - x \). Функция линейно убывает от 3 до 0.
• Для \( x > 3 \): \( y = x - 3 \). Функция линейно возрастает от 0 до бесконечности.
• Для \( -3 \leq x < 0 \): \( y = 3 + x \). Функция линейно убывает от 3 до 0.
• Для \( x < -3 \): \( y = -x - 3 \). Функция линейно возрастает от 0 до бесконечности.
4. Теперь найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
• \( x = -4 \): \( y = |3 - |-4|| = |3 - 4| = 1 \)
• \( x = -3 \): \( y = |3 - |-3|| = |3 - 3| = 0 \)
• \( x = 0 \): \( y = |3 - |0|| = |3 - 0| = 3 \)
• \( x = 3 \): \( y = |3 - |3|| = |3 - 3| = 0 \)
• \( x = 4 \): \( y = |3 - |4|| = |3 - 4| = 1 \)
5. Сравним полученные значения:
• Наибольшее значение: \( y = 3 \) при \( x = 0 \)
• Наименьшее значение: \( y = 0 \) при \( x = -3 \) и \( x = 3 \)

Ответ: \(y_{наиб}=0\),\(y_{наим}=3\).

Решение №43670: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^2 - 5|x| + 6 \) на отрезке \([0; 4]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разделить функцию на два случая в зависимости от знака \( x \):
\[ y = \begin{cases} x^2 - 5x + 6 & \text{если } x \geq 0 \\ x^2 + 5x + 6 & \text{если } x < 0 \end{cases} \] Так как \( x \) принадлежит отрезку \([0; 4]\), рассмотрим только случай \( x \geq 0 \): \[ y = x^2 - 5x + 6 \]
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 5x + 6) = 2x - 5 \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2x - 5 = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} \]
5. Проверить, попадает ли критическая точка в отрезок \([0; 4]\):
Критическая точка \( x = \frac{5}{2} \) попадает в отрезок \([0; 4]\).
6. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = 0^2 - 5 \cdot 0 + 6 = 6 \] \[ y\left(\frac{5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5 \cdot \frac{5}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} + \frac{24}{4} = \frac{25 - 50 + 24}{4} = -\frac{1}{4} \] \[ y(4) = 4^2 - 5 \cdot 4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 \]
7. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(0) = 6 \) Наименьшее значение: \( y\left(\frac{5}{2}\right) = -\frac{1}{4} \)

Ответ: NaN

Решение №43671: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^2 - 5|x| + 6 \) на отрезке \([-5; 0]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разделить функцию на два случая в зависимости от знака \( x \):
\[ y = \begin{cases} x^2 - 5x + 6 & \text{если } x \geq 0 \\ x^2 + 5x + 6 & \text{если } x < 0 \end{cases} \]
2. Найти производные функций для обоих случаев:
\[ y_1 = x^2 - 5x + 6 \quad \text{для } x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad y_1' = 2x - 5 \] \[ y_2 = x^2 + 5x + 6 \quad \text{для } x < 0 \quad \Rightarrow \quad y_2' = 2x + 5 \]
3. Найти критические точки, решив уравнения \( y_1' = 0 \) и \( y_2' = 0 \):
\[ 2x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2} \quad \text{(не попадает в отрезок \([-5; 0]\))} \] \[ 2x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{2} \quad \text{(попадает в отрезок \([-5; 0]\))} \]
4. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-5) = (-5)^2 + 5(-5) + 6 = 25 - 25 + 6 = 6 \] \[ y(-\frac{5}{2}) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{5}{2}\right) + 6 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} + \frac{24}{4} = -\frac{1}{4} \] \[ y(0) = 0^2 + 5(0) + 6 = 6 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

Наибольшее значение: \( y(0) = 6 \)
Наименьшее значение: \( y(-\frac{5}{2}) = -\frac{1}{4} \)

Ответ: \(y_{наиб}=6\),\(y_{наим}=-0,25\).

Решение №43672: Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции \( y = x^2 - 8|x| + 7 \) на отрезке \([1; 5]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y = x^2 - 8|x| + 7 \] Рассмотрим два случая для \( |x| \): \[ \text{При } x \geq 0: \quad |x| = x \] \[ \text{При } x < 0: \quad |x| = -x \] В нашем случае \( x \geq 0 \) на отрезке \([1; 5]\), поэтому: \[ y = x^2 - 8x + 7 \] Найдем производную: \[ y' = 2x - 8 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2x - 8 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2x - 8 = 0 \implies \] \[ 2x = 8 \implies \] \[ x = 4 \]
4. Проверить, попадает ли критическая точка в отрезок \([1; 5]\):
Критическая точка \( x = 4 \) попадает в отрезок \([1; 5]\).
5. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(1) = 1^2 - 8 \cdot 1 + 7 = 1 - 8 + 7 = 0 \] \[ y(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9 \] \[ y(5) = 5^2 - 8 \cdot 5 + 7 = 25 - 40 + 7 = -8 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(1) = 0 \)
Наименьшее значение: \( y(4) = -9 \)

Ответ: \(y_{наиб}=72\),\(y_{наим}=16\).

Решение №43673: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^2 - 8|x| + 7 \) на отрезке \([-8; -2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 8|x| + 7) \] Заметим, что функция \( |x| \) имеет производную: \[ \frac{d}{dx}|x| = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases} \] На отрезке \([-8; -2]\), где \( x < 0 \), производная \( |x| \) будет \(-1\). Таким образом, производная функции \( y \) будет: \[ y' = 2x - 8(-1) = 2x + 8 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2x + 8 = 0 \] Решим уравнение относительно \( x \): \[ 2x = -8 \implies x = -4 \]
3. Проверить, попадает ли критическая точка \( x = -4 \) в отрезок \([-8; -2]\):
Точка \( x = -4 \) попадает в отрезок \([-8; -2]\).
4. Вычислить значения функции \( y \) в критической точке и на концах отрезка:
\[ y(-8) = (-8)^2 - 8|-8| + 7 = 64 - 64 + 7 = 7 \] \[ y(-4) = (-4)^2 - 8|-4| + 7 = 16 - 32 + 7 = -9 \] \[ y(-2) = (-2)^2 - 8|-2| + 7 = 4 - 16 + 7 = -5 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(-8) = 7 \)
Наименьшее значение: \( y(-4) = -9 \)

Ответ: \(y_{наиб}=135\),\(y_{наим}=27\).

Решение №43674: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^3 - 2x|x-2| \) на отрезке \([-1; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разделим функцию на два случая в зависимости от знака выражения \(|x-2|\):
• Если \( x \geq 2 \), то \(|x-2| = x-2\):
\[ y = x^3 - 2x(x-2) = x^3 - 2x^2 + 4x \]
• Если \( x < 2 \), то \(|x-2| = -(x-2) = 2-x\):
\[ y = x^3 - 2x(2-x) = x^3 - 4x + 2x^2 \]
2. Найти производные для каждого случая:
• Для \( x \geq 2 \):
\[ y' = 3x^2 - 4x + 4 \]
• Для \( x < 2 \):
\[ y' = 3x^2 + 4x - 4 \]
3. Найти критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \):
• Для \( x \geq 2 \):
\[ 3x^2 - 4x + 4 = 0 \]
• Решение этого уравнения:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 - 48 = -32 \]
• Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет реальных решений.
• Для \( x < 2 \):
\[ 3x^2 + 4x - 4 = 0 \]
• Решение этого уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{-4 \pm 8}{6} \]
• Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 3]\):
• Критическая точка \( x = -2 \) не попадает в отрезок \([-1; 3]\), а точка \( x = \frac{2}{3} \) попадает.
5. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
• Для \( x = -1 \):
\[ y(-1) = (-1)^3 - 2(-1)(2-(-1)) = -1 - 2(-1 \cdot 3) = -1 + 6 = 5 \]
• Для \( x = \frac{2}{3} \):
\[ y\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - 2\left(\frac{2}{3}\right)\left(2-\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{27} - \frac{16}{9} = \frac{8}{27} - \frac{48}{27} = -\frac{40}{27} \]
• Для \( x = 3 \):
\[ y(3) = 3^3 - 2 \cdot 3(3-2) = 27 - 2 \cdot 3 \cdot 1 = 27 - 6 = 21 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
• Наибольшее значение: \( y(3) = 21 \)
• Наименьшее значение: \( y\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{40}{27} \)

Ответ: \(y_{наиб}=21\),\(y_{наим}=-\frac{40}{27}\).

Решение №43675: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = 3x|x+1| - x^3 \) на отрезке \([-1; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотрим функцию \( y = 3x|x+1| - x^3 \). Для этого разделим её на два случая: \( x \geq -1 \) и \( x < -1 \):
2. Для \( x \geq -1 \): \[ y = 3x(x+1) - x^3 = 3x^2 + 3x - x^3 \]
3. Для \( x < -1 \): \[ y = 3x(-(x+1)) - x^3 = -3x^2 - 3x - x^3 \]
4. Найдем производные для каждого случая:
5. Для \( x \geq -1 \): \[ y' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 3x - x^3) = 6x + 3 - 3x^2 \]
6. Для \( x < -1 \): \[ y' = \frac{d}{dx}(-3x^2 - 3x - x^3) = -6x - 3 - 3x^2 \]
7. Найдем критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \):
8. Для \( x \geq -1 \): \[ 6x + 3 - 3x^2 = 0 \] \[ 3x^2 - 6x - 3 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 1 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \] Только \( x = 1 - \sqrt{2} \) попадает в интервал \([-1; 2]\).
9. Для \( x < -1 \): \[ -6x - 3 - 3x^2 = 0 \] \[ 3x^2 + 6x + 3 = 0 \] \[ x^2 + 2x + 1 = 0 \] \[ (x + 1)^2 = 0 \] \[ x = -1 \] Но \( x = -1 \) не попадает в интервал \( x < -1 \).
10. Проверим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
11. Для \( x = -1 \): \[ y(-1) = 3(-1)(-1+1) - (-1)^3 = 0 + 1 = 1 \]
12. Для \( x = 1 - \sqrt{2} \): \[ y(1 - \sqrt{2}) = 3(1 - \sqrt{2})(1 - \sqrt{2} + 1) - (1 - \sqrt{2})^3 \] \[ = 3(1 - \sqrt{2})(2 - \sqrt{2}) - (1 - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) \] \[ = 3(2 - 3\sqrt{2} + 2) - (1 - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) \] \[ = 3(4 - 3\sqrt{2}) - (1 - 3\sqrt{2}) \] \[ = 12 - 9\sqrt{2} - 1 + 3\sqrt{2} \] \[ = 11 - 6\sqrt{2} \]
13. Для \( x = 2 \): \[ y(2) = 3(2)(2+1) - 2^3 = 3(2)(3) - 8 = 18 - 8 = 10 \]
14. Сравним полученные значения и определим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
15. Наибольшее значение: \( y(2) = 10 \)
16. Наименьшее значение: \( y(1 - \sqrt{2}) = 11 - 6\sqrt{2} \)

Ответ: \(y_{наиб}=10\),\(y_{наим}=5-4\sqrt{2}\).

Решение №43676: Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции \( y = x^2 - 4x + 5 + |1 - x| \) на промежутке \([0; 4]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разбить функцию на части в зависимости от значения \( x \), учитывая модуль:
\[ y = \begin{cases} x^2 - 4x + 5 + (1 - x), & \text{если } x < 1 \\ x^2 - 4x + 5 + (x - 1), & \text{если } x \geq 1 \end{cases} \]
2. Для \( x < 1 \):
\[ y = x^2 - 4x + 5 + 1 - x = x^2 - 5x + 6 \]
3. Для \( x \geq 1 \):
\[ y = x^2 - 4x + 5 + x - 1 = x^2 - 3x + 4 \]
4. Найти производные каждой части функции:
\[ \text{Для } x < 1: \quad y' = 2x - 5 \] \[ \text{Для } x \geq 1: \quad y' = 2x - 3 \]
5. Найти критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \):
\[ \text{Для } x < 1: \quad 2x - 5 = 0 \implies x = \frac{5}{2} \quad (\text{не попадает в отрезок } [0; 1)) \] \[ \text{Для } x \geq 1: \quad 2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} \quad (\text{попадает в отрезок } [1; 4]) \]
6. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка:
\[ \text{Для } x = 0: \quad y = 0^2 - 5 \cdot 0 + 6 = 6 \] \[ \text{Для } x = 1: \quad y = 1^2 - 3 \cdot 1 + 4 = 2 \] \[ \text{Для } x = \frac{3}{2}: \quad y = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} + 4 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 4 = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{16}{4} = \frac{7}{4} \] \[ \text{Для } x = 4: \quad y = 4^2 - 3 \cdot 4 + 4 = 16 - 12 + 4 = 8 \]
7. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: \[ \text{Значения: } 6, 2, \frac{7}{4}, 8 \] \[ \text{Наименьшее значение: } \frac{7}{4} \] \[ \text{Наибольшее значение: } 8 \]

Ответ: \(y_{наиб}=8\),\(y_{наим}=1\frac{3}{4}\).

Решение №43677: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = |x^3 - 1 - 3x| \) на отрезке \([-1; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотрим функцию \( y = |x^3 - 1 - 3x| \). Нам нужно найти значения этой функции на отрезке \([-1; 3]\).
2. Рассмотрим функцию без модуля \( g(x) = x^3 - 1 - 3x \). Найдем ее критические точки, найдя производную и приравняв её к нулю:
\[ g'(x) = 3x^2 - 3 \]
3. Решим уравнение \( g'(x) = 0 \):
\[ 3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies (x - 1)(x + 1) = 0 \]
4. Критические точки:
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = -1 \]
5. Проверим, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 3]\):
\[ x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -1 \quad \text{попадают в отрезок} \quad [-1; 3] \]
6. Вычислим значения функции \( g(x) \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ g(-1) = (-1)^3 - 1 - 3(-1) = -1 - 1 + 3 = 1 \] \[ g(1) = (1)^3 - 1 - 3(1) = 1 - 1 - 3 = -3 \] \[ g(3) = (3)^3 - 1 - 3(3) = 27 - 1 - 9 = 17 \] \[ g(-1) = (-1)^3 - 1 - 3(-1) = -1 - 1 + 3 = 1 \]
7. Теперь рассмотрим функцию \( y = |g(x)| \):
\[ y(-1) = |g(-1)| = |1| = 1 \] \[ y(1) = |g(1)| = |-3| = 3 \] \[ y(3) = |g(3)| = |17| = 17 \]
8. Сравним полученные значения и определим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(3) = 17 \)
Наименьшее значение: \( y(-1) = 1 \)

Ответ: \(y_{наиб}=17\),\(y_{наим}=-3\).

Решение №43720: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = 2|x| - 4 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотрим функцию \( y = 2|x| - 4 \). Для анализа функции с модулем, необходимо разбить её на два случая в зависимости от значения \( x \):
2. Для \( x \geq 0 \): \[ y = 2x - 4 \]
3. Для \( x < 0 \): \[ y = 2(-x) - 4 = -2x - 4 \]
4. Найдем производные функций для каждого случая:
5. Для \( x \geq 0 \): \[ y' = \frac{d}{dx}(2x - 4) = 2 \]
6. Для \( x < 0 \): \[ y' = \frac{d}{dx}(-2x - 4) = -2 \]
7. Производные функций не равны нулю, поэтому критических точек внутри этих интервалов нет. Теперь рассмотрим точку \( x = 0 \), где функция может иметь критическую точку.
8. Вычислим значение функции в точке \( x = 0 \): \[ y(0) = 2|0| - 4 = -4 \]
9. Так как функция \( y = 2|x| - 4 \) является непрерывной и имеет минимум в точке \( x = 0 \), то наименьшее значение функции на всей числовой прямой будет:
10. Наименьшее значение функции: \[ y_{\text{min}} = -4 \]

Ответ: -4

Решение №43721: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = x^2 - 5|x| + 6 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разделить функцию на два случая в зависимости от значения \( x \):
\[ y = \begin{cases} x^2 - 5x + 6, & \text{если } x \geq 0 \\ x^2 + 5x + 6, & \text{если } x < 0 \end{cases} \]
2. Найти производные для каждого случая:
• Для \( x \geq 0 \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 5x + 6) = 2x - 5 \]
• Для \( x < 0 \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + 5x + 6) = 2x + 5 \]
3. Найти критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \):
• Для \( x \geq 0 \):
\[ 2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} \]
• Для \( x < 0 \):
\[ 2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2} \]
4. Вычислить значения функции \( y \) в найденных критических точках:
• Для \( x = \frac{5}{2} \):
\[ y\left(\frac{5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5 \cdot \frac{5}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} + \frac{24}{4} = -\frac{1}{4} \]
• Для \( x = -\frac{5}{2} \):
\[ y\left(-\frac{5}{2}\right) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 5 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) + 6 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} + \frac{24}{4} = -\frac{1}{4} \]
5. Сравнить значения функции в критических точках и определить наименьшее значение:
\[ y\left(\frac{5}{2}\right) = -\frac{1}{4}, \quad y\left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{1}{4} \] Наименьшее значение функции \( y \) достигается в точках \( x = \frac{5}{2} \) и \( x = -\frac{5}{2} \) и равно \( -\frac{1}{4} \).

Ответ: -0.25

Решение №43722: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = 3|x| + 9 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотреть функцию \( y = 3|x| + 9 \) и определить её поведение на различных интервалах.
2. Функция \( y = 3|x| + 9 \) является абсолютной величиной, поэтому её нужно рассмотреть на двух интервалах: \( x \geq 0 \) и \( x < 0 \).
3. Для \( x \geq 0 \): \[ y = 3x + 9 \]
4. Для \( x < 0 \): \[ y = -3x + 9 \]
5. Найти производные функций на каждом интервале: \[ \text{Для } x \geq 0: \quad y' = 3 \] \[ \text{Для } x < 0: \quad y' = -3 \]
6. Определить критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \): \[ \text{Для } x \geq 0: \quad 3 = 0 \quad \text{(не имеет решений)} \] \[ \text{Для } x < 0: \quad -3 = 0 \quad \text{(не имеет решений)} \]
7. Так как производные не равны нулю, критических точек нет.
8. Рассмотреть значения функции в точке \( x = 0 \): \[ y(0) = 3|0| + 9 = 9 \]
9. Проанализировать поведение функции на интервалах: \[ \text{Для } x \geq 0: \quad y = 3x + 9 \quad \text{(линейная функция, возрастающая)} \] \[ \text{Для } x < 0: \quad y = -3x + 9 \quad \text{(линейная функция, убывающая)} \]
10. Так как функция возрастает для \( x \geq 0 \) и убывает для \( x < 0 \), минимальное значение достигается в точке \( x = 0 \).

Ответ: 9

Решение №43723: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = x^2 - 6|x| - 7 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разделить функцию на две части в зависимости от знака \( x \):
\[ y = \begin{cases} x^2 - 6x - 7, & \text{если } x \geq 0 \\ x^2 + 6x - 7, & \text{если } x < 0 \end{cases} \]
2. Найти производные каждой части функции:
\[ y' = \begin{cases} 2x - 6, & \text{если } x \geq 0 \\ 2x + 6, & \text{если } x < 0 \end{cases} \]
3. Найти критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \) для каждой части:
\[ \begin{cases} 2x - 6 = 0, & \text{если } x \geq 0 \\ 2x + 6 = 0, & \text{если } x < 0 \end{cases} \]
4. Решить уравнения относительно \( x \):
\[ \begin{cases} 2x = 6 \implies x = 3, & \text{если } x \geq 0 \\ 2x = -6 \implies x = -3, & \text{если } x < 0 \end{cases} \]
5. Проверить, какие из критических точек попадают в соответствующие области:
\[ \begin{cases} x = 3, & \text{если } x \geq 0 \\ x = -3, & \text{если } x < 0 \end{cases} \]
6. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках:
\[ y(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 - 7 = 9 - 18 - 7 = -16 \] \[ y(-3) = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) - 7 = 9 - 18 - 7 = -16 \]
7. Сравнить полученные значения:
\[ y(3) = -16, \quad y(-3) = -16 \]
8. Так как значения функции в критических точках одинаковы, наименьшее значение функции \( y = x^2 - 6|x| - 7 \) равно \(-16\).

Ответ: 16

Решение №43735: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = |\sqrt{2 - x^2} - 2| + \sqrt{2 - x^2} - 2 + 2x - x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений \( x \).
\[ \sqrt{2 - x^2} \text{ определена при } 2 - x^2 \geq 0 \implies -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2} \]
2. Рассмотреть функцию на отрезке \( [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \).
3. Разделить функцию на части для упрощения анализа: \[ y = |\sqrt{2 - x^2} - 2| + \sqrt{2 - x^2} - 2 + 2x - x^2 \] Можно заметить, что функция \( y \) можно разбить на две части: \[ y = \sqrt{2 - x^2} - 2 + 2x - x^2 \quad \text{и} \quad y = 2 - \sqrt{2 - x^2} + \sqrt{2 - x^2} - 2 + 2x - x^2 \]
4. Анализировать каждую часть отдельно.
\[ y_1 = \sqrt{2 - x^2} - 2 + 2x - x^2 \] \[ y_2 = 2 - \sqrt{2 - x^2} + \sqrt{2 - x^2} - 2 + 2x - x^2 = 2x - x^2 \]
5. Найти производные этих частей и найти критические точки.
\[ y_1' = \frac{d}{dx}(\sqrt{2 - x^2} - 2 + 2x - x^2) = \frac{-x}{\sqrt{2 - x^2}} + 2 - 2x \] \[ y_2' = \frac{d}{dx}(2x - x^2) = 2 - 2x \]
6. Решить уравнения \( y_1' = 0 \) и \( y_2' = 0 \).
\[ \frac{-x}{\sqrt{2 - x^2}} + 2 - 2x = 0 \] \[ 2 - 2x = 0 \implies x = 1 \]
7. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \( [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \).
\[ x = 1 \text{ попадает в отрезок } [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \]
8. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка.
\[ y(-\sqrt{2}) = |\sqrt{2 - (-\sqrt{2})^2} - 2| + \sqrt{2 - (-\sqrt{2})^2} - 2 + 2(-\sqrt{2}) - (-\sqrt{2})^2 \] \[ y(\sqrt{2}) = |\sqrt{2 - (\sqrt{2})^2} - 2| + \sqrt{2 - (\sqrt{2})^2} - 2 + 2(\sqrt{2}) - (\sqrt{2})^2 \] \[ y(1) = |\sqrt{2 - 1^2} - 2| + \sqrt{2 - 1^2} - 2 + 2(1) - 1^2 \]
9. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
\[ y(-\sqrt{2}) = -2 \] \[ y(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2 \] \[ y(1) = 0 \]

Ответ: \(1,-2\sqrt{2}-2\).

Решение №43736: Для нахождения области значений функции \( y = |\sqrt{8 + 2x - x^2} - 4| + \sqrt{8 + 2x - x^2} + x^3 - 3x^2 - 9x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений для \( x \):
\[ \sqrt{8 + 2x - x^2} \text{ определен, если } 8 + 2x - x^2 \geq 0 \] \[ 8 + 2x - x^2 = -x^2 + 2x + 8 \] \[ -x^2 + 2x + 8 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \] \[ x = 4 \text{ или } x = -2 \] \[ \text{Таким образом, } -2 \leq x \leq 4 \]
2. Рассмотреть выражение \( \sqrt{8 + 2x - x^2} \):
\[ \text{Обозначим } u = \sqrt{8 + 2x - x^2} \] \[ \text{Тогда } y = |u - 4| + u + x^3 - 3x^2 - 9x \]
3. Рассмотреть функцию \( u \) на интервале \([-2, 4]\):
\[ u = \sqrt{8 + 2x - x^2} \] \[ \text{Найдем максимальное и минимальное значение } u: \] \[ \text{Максимальное значение } u \text{ достигается при } x = 1: \] \[ u_{\text{max}} = \sqrt{8 + 2 \cdot 1 - 1^2} = \sqrt{9} = 3 \] \[ \text{Минимальное значение } u \text{ достигается при } x = -2 \text{ или } x = 4: \] \[ u_{\text{min}} = \sqrt{8 + 2 \cdot (-2) - (-2)^2} = \sqrt{0} = 0 \]
4. Рассмотреть функцию \( v = x^3 - 3x^2 - 9x \) на интервале \([-2, 4]\):
\[ \text{Найдем производную } v: \] \[ v' = 3x^2 - 6x - 9 \] \[ \text{Найдем критические точки, решив } v' = 0: \] \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] \[ x = 3 \text{ или } x = -1 \] \[ \text{Вычислим значения } v \text{ в критических точках и на концах интервала:} \] \[ v(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) = -8 - 12 + 18 = -2 \] \[ v(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5 \] \[ v(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 = 27 - 27 - 27 = -27 \] \[ v(4) = 4^3 - 3 \cdot 4^2 - 9 \cdot 4 = 64 - 48 - 36 = -20 \]
5. Соединить результаты для функции \( y \):
\[ y = |u - 4| + u + v \] \[ \text{Рассмотрим возможные значения } y \text{ при различных } u \text{ и } v: \] \[ \text{Минимальное значение } y: \] \[ y_{\text{min}} = |0 - 4| + 0 + (-27) = 4 - 27 = -23 \] \[ \text{Максимальное значение } y: \] \[ y_{\text{max}} = |3 - 4| + 3 + 5 = 1 + 3 + 5 = 9 \]
6. Заключение:
\[ \text{Область значений функции } y \text{ на интервале } [-2, 4] \text{ будет } [-23, 9]. \]

Ответ: \([-23,9]\).

Решение №49361: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = -5x^3 + x|x-1| \) на промежутке \([0; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разделить функцию на части в зависимости от значения \( x \) относительно 1:
\[ f(x) = \begin{cases} -5x^3 + x(x-1), & \text{если } x \geq 1 \\ -5x^3 + x(1-x), & \text{если } x < 1 \end{cases} \]
2. Найти производную функции \( f(x) \) для каждого случая:
Для \( x \geq 1 \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-5x^3 + x(x-1)) = -15x^2 + 2x - 1 \] Для \( x < 1 \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-5x^3 + x(1-x)) = -15x^2 + 1 - 2x \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):
Для \( x \geq 1 \): \[ -15x^2 + 2x - 1 = 0 \] Для \( x < 1 \): \[ -15x^2 + 1 - 2x = 0 \]
4. Решить квадратные уравнения:
Для \( x \geq 1 \): \[ -15x^2 + 2x - 1 = 0 \] Решим это уравнение с помощью формулы квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = -15 \), \( b = 2 \), \( c = -1 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-15)(-1)}}{2(-15)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 60}}{-30} = \frac{-2 \pm \sqrt{-56}}{-30} \] Уравнение не имеет реальных корней. Для \( x < 1 \): \[ -15x^2 + 1 - 2x = 0 \] Решим это уравнение с помощью формулы квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = -15 \), \( b = -2 \), \( c = 1 \): \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(-15)(1)}}{2(-15)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{-30} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{-30} = \frac{2 \pm 8}{-30} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{2 + 8}{-30} = \frac{10}{-30} = -\frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{2 - 8}{-30} = \frac{-6}{-30} = \frac{1}{5} \]
5. Проверить, какие из критических точек попадают в промежуток \([0; 2]\):
Критическая точка \( x = -\frac{1}{3} \) не попадает в промежуток \([0; 2]\), а точка \( x = \frac{1}{5} \) попадает.
6. Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах промежутка:
\[ f(0) = -5(0)^3 + 0(1-0) = 0 \] \[ f\left(\frac{1}{5}\right) = -5\left(\frac{1}{5}\right)^3 + \frac{1}{5}\left(1-\frac{1}{5}\right) = -5\left(\frac{1}{125}\right) + \frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right) = -\frac{1}{25} + \frac{4}{25} = \frac{3}{25} \] \[ f(1) = -5(1)^3 + 1(1-1) = -5 + 0 = -5 \] \[ f(2) = -5(2)^3 + 2(2-1) = -40 + 2 = -38 \]
7. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:
Наибольшее значение: \( f(0) = 0 \)
Наименьшее значение: \( f(2) = -38 \)

Ответ: \(\frac{3}{25}; -38\).

Решение №49362: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = 4x^3 - x|x - 2| \) на промежутке \([0; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разделить функцию на случаи в зависимости от значения \( |x - 2| \):
\[ f(x) = \begin{cases} 4x^3 - x(x - 2), & \text{если } x \geq 2 \\ 4x^3 + x(x - 2), & \text{если } x < 2 \end{cases} \] Это даёт нам две функции: \[ f_1(x) = 4x^3 - x^2 + 2x, \quad \text{если } x \geq 2 \] \[ f_2(x) = 4x^3 + x^2 - 2x, \quad \text{если } x < 2 \]
2. Найти производную функции \( f_1(x) \) для \( x \geq 2 \):
\[ f_1'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - x^2 + 2x) = 12x^2 - 2x + 2 \]
3. Найти производную функции \( f_2(x) \) для \( x < 2 \):
\[ f_2'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 + x^2 - 2x) = 12x^2 + 2x - 2 \]
4. Найти критические точки, решив уравнения \( f_1'(x) = 0 \) и \( f_2'(x) = 0 \):
Для \( f_1'(x) \): \[ 12x^2 - 2x + 2 = 0 \] Это уравнение не имеет реальных корней, так как дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 2 = 4 - 96 = -92 \) отрицательный. Для \( f_2'(x) \): \[ 12x^2 + 2x - 2 = 0 \] Решим это квадратное уравнение: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-2)}}{2 \cdot 12} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{24} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{24} = \frac{-2 \pm 10}{24} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{-2 + 10}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-2 - 10}{24} = \frac{-12}{24} = -\frac{1}{2} \] Критическая точка \( x = -\frac{1}{2} \) не попадает в отрезок \([0; 3]\), а точка \( x = \frac{1}{3} \) попадает.
5. Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка:
Для \( f_2(x) \): \[ f_2\left(\frac{1}{3}\right) = 4\left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right) = 4\left(\frac{1}{27}\right) + \frac{1}{9} - \frac{2}{3} = \frac{4}{27} + \frac{1}{9} - \frac{2}{3} \] \[ = \frac{4}{27} + \frac{3}{27} - \frac{18}{27} = \frac{7}{27} - \frac{18}{27} = -\frac{11}{27} \] На концах отрезка: \[ f(0) = 4(0)^3 + (0)^2 - 2(0) = 0 \] \[ f(2) = 4(2)^3 - (2)(2 - 2) = 4 \cdot 8 = 32 \] \[ f(3) = 4(3)^3 - (3)(3 - 2) = 4 \cdot 27 - 3 \cdot 1 = 108 - 3 = 105 \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( f(3) = 105 \)
Наименьшее значение: \( f\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{11}{27} \)

Ответ: \(105; -\frac{11}{27}\).