Экзамены с этой задачей: Исследование функций без помощи производной

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке: \(y=x^2-5|x|+6\), \([0;4]\).

Ответ

NaN

Решение № 43670:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^2 - 5|x| + 6 \) на отрезке \([0; 4]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Разделить функцию на два случая в зависимости от знака \( x \): </li> \[ y = \begin{cases} x^2 - 5x + 6 & \text{если } x \geq 0 \\ x^2 + 5x + 6 & \text{если } x < 0 \end{cases} \] Так как \( x \) принадлежит отрезку \([0; 4]\), рассмотрим только случай \( x \geq 0 \): \[ y = x^2 - 5x + 6 \] <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 5x + 6) = 2x - 5 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 2x - 5 = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} \] <li> Проверить, попадает ли критическая точка в отрезок \([0; 4]\): </li> Критическая точка \( x = \frac{5}{2} \) попадает в отрезок \([0; 4]\). <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(0) = 0^2 - 5 \cdot 0 + 6 = 6 \] \[ y\left(\frac{5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5 \cdot \frac{5}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} + \frac{24}{4} = \frac{25 - 50 + 24}{4} = -\frac{1}{4} \] \[ y(4) = 4^2 - 5 \cdot 4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( y(0) = 6 \) Наименьшее значение: \( y\left(\frac{5}{2}\right) = -\frac{1}{4} \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 6 \) <br> Наименьшее значение: \( -\frac{1}{4} \)