Экзамены с этой задачей: Исследование функций без помощи производной

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшие значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной: \(y=|3-|x||\), \([-4;4]\).

Ответ

\(y_{наиб}=0\),\(y_{наим}=3\).

Решение № 43625:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = |3 - |x|| \) на отрезке \([-4; 4]\) без использования производной, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Рассмотрим функцию \( y = |3 - |x|| \) и проанализируем её поведение на различных интервалах. </li> <li> Разделим функцию на несколько частей в зависимости от значений \( x \): </li> \[ y = \begin{cases} 3 - x & \text{если } 0 \leq x \leq 3 \\ x - 3 & \text{если } x > 3 \\ 3 + x & \text{если } -3 \leq x < 0 \\ -x - 3 & \text{если } x < -3 \end{cases} \] </li> <li> Проанализируем поведение функции на каждом интервале: </li> <ul> <li> Для \( 0 \leq x \leq 3 \): \( y = 3 - x \). Функция линейно убывает от 3 до 0. </li> <li> Для \( x > 3 \): \( y = x - 3 \). Функция линейно возрастает от 0 до бесконечности. </li> <li> Для \( -3 \leq x < 0 \): \( y = 3 + x \). Функция линейно убывает от 3 до 0. </li> <li> Для \( x < -3 \): \( y = -x - 3 \). Функция линейно возрастает от 0 до бесконечности. </li> </ul> </li> <li> Теперь найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка: </li> <ul> <li> \( x = -4 \): \( y = |3 - |-4|| = |3 - 4| = 1 \) </li> <li> \( x = -3 \): \( y = |3 - |-3|| = |3 - 3| = 0 \) </li> <li> \( x = 0 \): \( y = |3 - |0|| = |3 - 0| = 3 \) </li> <li> \( x = 3 \): \( y = |3 - |3|| = |3 - 3| = 0 \) </li> <li> \( x = 4 \): \( y = |3 - |4|| = |3 - 4| = 1 \) </li> </ul> </li> <li> Сравним полученные значения: </li> <ul> <li> Наибольшее значение: \( y = 3 \) при \( x = 0 \) </li> <li> Наименьшее значение: \( y = 0 \) при \( x = -3 \) и \( x = 3 \) </li> </ul> </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 3 \) <br> Наименьшее значение: \( 0 \)