Экзамены с этой задачей: Исследование функций без помощи производной

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наименьшее значение функции: \(y=x^2-6|x|-7\).

Ответ

16

Решение № 43723:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = x^2 - 6|x| - 7 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Разделить функцию на две части в зависимости от знака \( x \): </li> \[ y = \begin{cases} x^2 - 6x - 7, & \text{если } x \geq 0 \\ x^2 + 6x - 7, & \text{если } x < 0 \end{cases} \] <li> Найти производные каждой части функции: </li> \[ y' = \begin{cases} 2x - 6, & \text{если } x \geq 0 \\ 2x + 6, & \text{если } x < 0 \end{cases} \] <li> Найти критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \) для каждой части: </li> \[ \begin{cases} 2x - 6 = 0, & \text{если } x \geq 0 \\ 2x + 6 = 0, & \text{если } x < 0 \end{cases} \] <li> Решить уравнения относительно \( x \): </li> \[ \begin{cases} 2x = 6 \implies x = 3, & \text{если } x \geq 0 \\ 2x = -6 \implies x = -3, & \text{если } x < 0 \end{cases} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в соответствующие области: </li> \[ \begin{cases} x = 3, & \text{если } x \geq 0 \\ x = -3, & \text{если } x < 0 \end{cases} \] <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках: </li> \[ y(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 - 7 = 9 - 18 - 7 = -16 \] \[ y(-3) = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) - 7 = 9 - 18 - 7 = -16 \] <li> Сравнить полученные значения: </li> \[ y(3) = -16, \quad y(-3) = -16 \] <li> Так как значения функции в критических точках одинаковы, наименьшее значение функции \( y = x^2 - 6|x| - 7 \) равно \(-16\). </li> </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение функции: \( -16 \)