Экзамены с этой задачей: Исследование функций без помощи производной

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наименьшее значение функции: \(y=x^2-5|x|+6\).

Ответ

-0.25

Решение № 43721:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = x^2 - 5|x| + 6 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Разделить функцию на два случая в зависимости от значения \( x \): </li> \[ y = \begin{cases} x^2 - 5x + 6, & \text{если } x \geq 0 \\ x^2 + 5x + 6, & \text{если } x < 0 \end{cases} \] <li> Найти производные для каждого случая: </li> <ul> <li> Для \( x \geq 0 \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 5x + 6) = 2x - 5 \] <li> Для \( x < 0 \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + 5x + 6) = 2x + 5 \] </ul> <li> Найти критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \): </li> <ul> <li> Для \( x \geq 0 \): </li> \[ 2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} \] <li> Для \( x < 0 \): </li> \[ 2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2} \] </ul> <li> Вычислить значения функции \( y \) в найденных критических точках: </li> <ul> <li> Для \( x = \frac{5}{2} \): </li> \[ y\left(\frac{5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5 \cdot \frac{5}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} + \frac{24}{4} = -\frac{1}{4} \] <li> Для \( x = -\frac{5}{2} \): </li> \[ y\left(-\frac{5}{2}\right) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 5 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) + 6 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} + \frac{24}{4} = -\frac{1}{4} \] </ul> <li> Сравнить значения функции в критических точках и определить наименьшее значение: </li> \[ y\left(\frac{5}{2}\right) = -\frac{1}{4}, \quad y\left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{1}{4} \] Наименьшее значение функции \( y \) достигается в точках \( x = \frac{5}{2} \) и \( x = -\frac{5}{2} \) и равно \( -\frac{1}{4} \). </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение функции: \( -\frac{1}{4} \)