Экзамены с этой задачей: Исследование функций без помощи производной

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке: \(y=x^2-4x+5+|1-x|\), \([0;4]\).

Ответ

\(y_{наиб}=8\),\(y_{наим}=1\frac{3}{4}\).

Решение № 43676:

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции \( y = x^2 - 4x + 5 + |1 - x| \) на промежутке \([0; 4]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Разбить функцию на части в зависимости от значения \( x \), учитывая модуль: </li> \[ y = \begin{cases} x^2 - 4x + 5 + (1 - x), & \text{если } x < 1 \\ x^2 - 4x + 5 + (x - 1), & \text{если } x \geq 1 \end{cases} \] </li> <li> Для \( x < 1 \): </li> \[ y = x^2 - 4x + 5 + 1 - x = x^2 - 5x + 6 \] </li> <li> Для \( x \geq 1 \): </li> \[ y = x^2 - 4x + 5 + x - 1 = x^2 - 3x + 4 \] </li> <li> Найти производные каждой части функции: </li> \[ \text{Для } x < 1: \quad y' = 2x - 5 \] \[ \text{Для } x \geq 1: \quad y' = 2x - 3 \] </li> <li> Найти критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \): </li> \[ \text{Для } x < 1: \quad 2x - 5 = 0 \implies x = \frac{5}{2} \quad (\text{не попадает в отрезок } [0; 1)) \] \[ \text{Для } x \geq 1: \quad 2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} \quad (\text{попадает в отрезок } [1; 4]) \] </li> <li> Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ \text{Для } x = 0: \quad y = 0^2 - 5 \cdot 0 + 6 = 6 \] \[ \text{Для } x = 1: \quad y = 1^2 - 3 \cdot 1 + 4 = 2 \] \[ \text{Для } x = \frac{3}{2}: \quad y = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} + 4 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 4 = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{16}{4} = \frac{7}{4} \] \[ \text{Для } x = 4: \quad y = 4^2 - 3 \cdot 4 + 4 = 16 - 12 + 4 = 8 \] </li> <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: \[ \text{Значения: } 6, 2, \frac{7}{4}, 8 \] \[ \text{Наименьшее значение: } \frac{7}{4} \] \[ \text{Наибольшее значение: } 8 \] </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 8 \) <br> Наименьшее значение: \( \frac{7}{4} \)