Экзамены с этой задачей: Исследование функций без помощи производной

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке: \(y=x^2-8|x|+7\), \([-8;-2]\).

Ответ

\(y_{наиб}=135\),\(y_{наим}=27\).

Решение № 43673:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^2 - 8|x| + 7 \) на отрезке \([-8; -2]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 8|x| + 7) \] Заметим, что функция \( |x| \) имеет производную: \[ \frac{d}{dx}|x| = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases} \] На отрезке \([-8; -2]\), где \( x < 0 \), производная \( |x| \) будет \(-1\). Таким образом, производная функции \( y \) будет: \[ y' = 2x - 8(-1) = 2x + 8 \] </li> <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 2x + 8 = 0 \] Решим уравнение относительно \( x \): \[ 2x = -8 \implies x = -4 \] </li> <li> Проверить, попадает ли критическая точка \( x = -4 \) в отрезок \([-8; -2]\): </li> Точка \( x = -4 \) попадает в отрезок \([-8; -2]\). </li> <li> Вычислить значения функции \( y \) в критической точке и на концах отрезка: </li> \[ y(-8) = (-8)^2 - 8|-8| + 7 = 64 - 64 + 7 = 7 \] \[ y(-4) = (-4)^2 - 8|-4| + 7 = 16 - 32 + 7 = -9 \] \[ y(-2) = (-2)^2 - 8|-2| + 7 = 4 - 16 + 7 = -5 \] </li> <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( y(-8) = 7 \) <br> Наименьшее значение: \( y(-4) = -9 \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 7 \) <br> Наименьшее значение: \( -9 \)