Экзамены с этой задачей: Исследование функций без помощи производной

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наименьшее значение функции: \(y=3|x|+9\).

Ответ

9

Решение № 43722:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = 3|x| + 9 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Рассмотреть функцию \( y = 3|x| + 9 \) и определить её поведение на различных интервалах. </li> <li> Функция \( y = 3|x| + 9 \) является абсолютной величиной, поэтому её нужно рассмотреть на двух интервалах: \( x \geq 0 \) и \( x < 0 \). </li> <li> Для \( x \geq 0 \): \[ y = 3x + 9 \] </li> <li> Для \( x < 0 \): \[ y = -3x + 9 \] </li> <li> Найти производные функций на каждом интервале: \[ \text{Для } x \geq 0: \quad y' = 3 \] \[ \text{Для } x < 0: \quad y' = -3 \] </li> <li> Определить критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \): \[ \text{Для } x \geq 0: \quad 3 = 0 \quad \text{(не имеет решений)} \] \[ \text{Для } x < 0: \quad -3 = 0 \quad \text{(не имеет решений)} \] </li> <li> Так как производные не равны нулю, критических точек нет. </li> <li> Рассмотреть значения функции в точке \( x = 0 \): \[ y(0) = 3|0| + 9 = 9 \] </li> <li> Проанализировать поведение функции на интервалах: \[ \text{Для } x \geq 0: \quad y = 3x + 9 \quad \text{(линейная функция, возрастающая)} \] \[ \text{Для } x < 0: \quad y = -3x + 9 \quad \text{(линейная функция, убывающая)} \] </li> <li> Так как функция возрастает для \( x \geq 0 \) и убывает для \( x < 0 \), минимальное значение достигается в точке \( x = 0 \). </li> </ol> Ответ: <br> Наименьшее значение функции: \( 9 \)