Экзамены с этой задачей: Исследование функций без помощи производной

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке: \(y=x^3-2x|x-2|\), \([-1;3]\).

Ответ

\(y_{наиб}=21\),\(y_{наим}=-\frac{40}{27}\).

Решение № 43674:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^3 - 2x|x-2| \) на отрезке \([-1; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Разделим функцию на два случая в зависимости от знака выражения \(|x-2|\): </li> <ul> <li> Если \( x \geq 2 \), то \(|x-2| = x-2\): </li> \[ y = x^3 - 2x(x-2) = x^3 - 2x^2 + 4x \] <li> Если \( x < 2 \), то \(|x-2| = -(x-2) = 2-x\): </li> \[ y = x^3 - 2x(2-x) = x^3 - 4x + 2x^2 \] </ul> <li> Найти производные для каждого случая: </li> <ul> <li> Для \( x \geq 2 \): </li> \[ y' = 3x^2 - 4x + 4 \] <li> Для \( x < 2 \): </li> \[ y' = 3x^2 + 4x - 4 \] </ul> <li> Найти критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \): </li> <ul> <li> Для \( x \geq 2 \): </li> \[ 3x^2 - 4x + 4 = 0 \] <li> Решение этого уравнения: </li> \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 - 48 = -32 \] <li> Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет реальных решений. </li> <li> Для \( x < 2 \): </li> \[ 3x^2 + 4x - 4 = 0 \] <li> Решение этого уравнения: </li> \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{-4 \pm 8}{6} \] <li> Получаем два корня: </li> \[ x_1 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \] </ul> <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 3]\): </li> <ul> <li> Критическая точка \( x = -2 \) не попадает в отрезок \([-1; 3]\), а точка \( x = \frac{2}{3} \) попадает. </li> </ul> <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> <ul> <li> Для \( x = -1 \): </li> \[ y(-1) = (-1)^3 - 2(-1)(2-(-1)) = -1 - 2(-1 \cdot 3) = -1 + 6 = 5 \] <li> Для \( x = \frac{2}{3} \): </li> \[ y\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - 2\left(\frac{2}{3}\right)\left(2-\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{27} - \frac{16}{9} = \frac{8}{27} - \frac{48}{27} = -\frac{40}{27} \] <li> Для \( x = 3 \): </li> \[ y(3) = 3^3 - 2 \cdot 3(3-2) = 27 - 2 \cdot 3 \cdot 1 = 27 - 6 = 21 \] </ul> <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> <ul> <li> Наибольшее значение: \( y(3) = 21 \) </li> <li> Наименьшее значение: \( y\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{40}{27} \) </li> </ul> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 21 \) <br> Наименьшее значение: \( -\frac{40}{27} \)