Экзамены с этой задачей: Исследование функций без помощи производной Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции\(y=|\sqrt{2-x^2}-2|+\sqrt{2-x^2}-2+2x-x^2\).

Ответ

\(1,-2\sqrt{2}-2\).

Решение № 43735:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = |\sqrt{2 - x^2} - 2| + \sqrt{2 - x^2} - 2 + 2x - x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить область допустимых значений \( x \). </li> \[ \sqrt{2 - x^2} \text{ определена при } 2 - x^2 \geq 0 \implies -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2} \] <li> Рассмотреть функцию на отрезке \( [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \). </li> <li> Разделить функцию на части для упрощения анализа: \[ y = |\sqrt{2 - x^2} - 2| + \sqrt{2 - x^2} - 2 + 2x - x^2 \] Можно заметить, что функция \( y \) можно разбить на две части: \[ y = \sqrt{2 - x^2} - 2 + 2x - x^2 \quad \text{и} \quad y = 2 - \sqrt{2 - x^2} + \sqrt{2 - x^2} - 2 + 2x - x^2 \] </li> <li> Анализировать каждую часть отдельно. </li> \[ y_1 = \sqrt{2 - x^2} - 2 + 2x - x^2 \] \[ y_2 = 2 - \sqrt{2 - x^2} + \sqrt{2 - x^2} - 2 + 2x - x^2 = 2x - x^2 \] <li> Найти производные этих частей и найти критические точки. </li> \[ y_1' = \frac{d}{dx}(\sqrt{2 - x^2} - 2 + 2x - x^2) = \frac{-x}{\sqrt{2 - x^2}} + 2 - 2x \] \[ y_2' = \frac{d}{dx}(2x - x^2) = 2 - 2x \] <li> Решить уравнения \( y_1' = 0 \) и \( y_2' = 0 \). </li> \[ \frac{-x}{\sqrt{2 - x^2}} + 2 - 2x = 0 \] \[ 2 - 2x = 0 \implies x = 1 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \( [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \). </li> \[ x = 1 \text{ попадает в отрезок } [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \] <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка. </li> \[ y(-\sqrt{2}) = |\sqrt{2 - (-\sqrt{2})^2} - 2| + \sqrt{2 - (-\sqrt{2})^2} - 2 + 2(-\sqrt{2}) - (-\sqrt{2})^2 \] \[ y(\sqrt{2}) = |\sqrt{2 - (\sqrt{2})^2} - 2| + \sqrt{2 - (\sqrt{2})^2} - 2 + 2(\sqrt{2}) - (\sqrt{2})^2 \] \[ y(1) = |\sqrt{2 - 1^2} - 2| + \sqrt{2 - 1^2} - 2 + 2(1) - 1^2 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. </li> \[ y(-\sqrt{2}) = -2 \] \[ y(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2 \] \[ y(1) = 0 \] </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 2\sqrt{2} - 2 \) <br> Наименьшее значение: \( -2 \)