Экзамены с этой задачей: Исследование функций без помощи производной

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции\(f(x)=-5x^3+x|x-1|\) на промежутке \([0; 2]\).

Ответ

\(\frac{3}{25}; -38\).

Решение № 49361:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = -5x^3 + x|x-1| \) на промежутке \([0; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Разделить функцию на части в зависимости от значения \( x \) относительно 1: </li> \[ f(x) = \begin{cases} -5x^3 + x(x-1), & \text{если } x \geq 1 \\ -5x^3 + x(1-x), & \text{если } x < 1 \end{cases} \] <li> Найти производную функции \( f(x) \) для каждого случая: </li> Для \( x \geq 1 \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-5x^3 + x(x-1)) = -15x^2 + 2x - 1 \] Для \( x < 1 \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-5x^3 + x(1-x)) = -15x^2 + 1 - 2x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \): </li> Для \( x \geq 1 \): \[ -15x^2 + 2x - 1 = 0 \] Для \( x < 1 \): \[ -15x^2 + 1 - 2x = 0 \] <li> Решить квадратные уравнения: </li> Для \( x \geq 1 \): \[ -15x^2 + 2x - 1 = 0 \] Решим это уравнение с помощью формулы квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = -15 \), \( b = 2 \), \( c = -1 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-15)(-1)}}{2(-15)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 60}}{-30} = \frac{-2 \pm \sqrt{-56}}{-30} \] Уравнение не имеет реальных корней. Для \( x < 1 \): \[ -15x^2 + 1 - 2x = 0 \] Решим это уравнение с помощью формулы квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = -15 \), \( b = -2 \), \( c = 1 \): \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(-15)(1)}}{2(-15)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{-30} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{-30} = \frac{2 \pm 8}{-30} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{2 + 8}{-30} = \frac{10}{-30} = -\frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{2 - 8}{-30} = \frac{-6}{-30} = \frac{1}{5} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в промежуток \([0; 2]\): </li> Критическая точка \( x = -\frac{1}{3} \) не попадает в промежуток \([0; 2]\), а точка \( x = \frac{1}{5} \) попадает. <li> Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах промежутка: </li> \[ f(0) = -5(0)^3 + 0(1-0) = 0 \] \[ f\left(\frac{1}{5}\right) = -5\left(\frac{1}{5}\right)^3 + \frac{1}{5}\left(1-\frac{1}{5}\right) = -5\left(\frac{1}{125}\right) + \frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right) = -\frac{1}{25} + \frac{4}{25} = \frac{3}{25} \] \[ f(1) = -5(1)^3 + 1(1-1) = -5 + 0 = -5 \] \[ f(2) = -5(2)^3 + 2(2-1) = -40 + 2 = -38 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: </li> Наибольшее значение: \( f(0) = 0 \) <br> Наименьшее значение: \( f(2) = -38 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 0 \) <br> Наименьшее значение: \( -38 \)