Экзамены с этой задачей: Исследование функций без помощи производной

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке: \(y=x^2-5|x|+6\), \([-5;0]\).

Ответ

\(y_{наиб}=6\),\(y_{наим}=-0,25\).

Решение № 43671:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^2 - 5|x| + 6 \) на отрезке \([-5; 0]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Разделить функцию на два случая в зависимости от знака \( x \): </li> \[ y = \begin{cases} x^2 - 5x + 6 & \text{если } x \geq 0 \\ x^2 + 5x + 6 & \text{если } x < 0 \end{cases} \] <li> Найти производные функций для обоих случаев: </li> \[ y_1 = x^2 - 5x + 6 \quad \text{для } x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad y_1' = 2x - 5 \] \[ y_2 = x^2 + 5x + 6 \quad \text{для } x < 0 \quad \Rightarrow \quad y_2' = 2x + 5 \] <li> Найти критические точки, решив уравнения \( y_1' = 0 \) и \( y_2' = 0 \): </li> \[ 2x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2} \quad \text{(не попадает в отрезок \([-5; 0]\))} \] \[ 2x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{2} \quad \text{(попадает в отрезок \([-5; 0]\))} \] <li> Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(-5) = (-5)^2 + 5(-5) + 6 = 25 - 25 + 6 = 6 \] \[ y(-\frac{5}{2}) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{5}{2}\right) + 6 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} + \frac{24}{4} = -\frac{1}{4} \] \[ y(0) = 0^2 + 5(0) + 6 = 6 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> <br> Наибольшее значение: \( y(0) = 6 \) <br> Наименьшее значение: \( y(-\frac{5}{2}) = -\frac{1}{4} \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 6 \) <br> Наименьшее значение: \( -\frac{1}{4} \)