Экзамены с этой задачей: Исследование функций без помощи производной

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке: \(y=x^2-8|x|+7\), \([1;5]\).

Ответ

\(y_{наиб}=72\),\(y_{наим}=16\).

Решение № 43672:

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции \( y = x^2 - 8|x| + 7 \) на отрезке \([1; 5]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = x^2 - 8|x| + 7 \] Рассмотрим два случая для \( |x| \): \[ \text{При } x \geq 0: \quad |x| = x \] \[ \text{При } x < 0: \quad |x| = -x \] В нашем случае \( x \geq 0 \) на отрезке \([1; 5]\), поэтому: \[ y = x^2 - 8x + 7 \] Найдем производную: \[ y' = 2x - 8 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 2x - 8 = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 2x - 8 = 0 \implies \] \[ 2x = 8 \implies \] \[ x = 4 \] <li> Проверить, попадает ли критическая точка в отрезок \([1; 5]\): </li> Критическая точка \( x = 4 \) попадает в отрезок \([1; 5]\). <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(1) = 1^2 - 8 \cdot 1 + 7 = 1 - 8 + 7 = 0 \] \[ y(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9 \] \[ y(5) = 5^2 - 8 \cdot 5 + 7 = 25 - 40 + 7 = -8 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( y(1) = 0 \) <br> Наименьшее значение: \( y(4) = -9 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 0 \) <br> Наименьшее значение: \( -9 \)