Экзамены с этой задачей: Исследование функций без помощи производной

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке: \(y=|x^3-1-3x|\), \([-1;3]\).

Ответ

\(y_{наиб}=17\),\(y_{наим}=-3\).

Решение № 43677:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = |x^3 - 1 - 3x| \) на отрезке \([-1; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Рассмотрим функцию \( y = |x^3 - 1 - 3x| \). Нам нужно найти значения этой функции на отрезке \([-1; 3]\). </li> <li> Рассмотрим функцию без модуля \( g(x) = x^3 - 1 - 3x \). Найдем ее критические точки, найдя производную и приравняв её к нулю: </li> \[ g'(x) = 3x^2 - 3 \] <li> Решим уравнение \( g'(x) = 0 \): </li> \[ 3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies (x - 1)(x + 1) = 0 \] <li> Критические точки: </li> \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -1 \] <li> Проверим, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 3]\): </li> \[ x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -1 \quad \text{попадают в отрезок} \quad [-1; 3] \] <li> Вычислим значения функции \( g(x) \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ g(-1) = (-1)^3 - 1 - 3(-1) = -1 - 1 + 3 = 1 \] \[ g(1) = (1)^3 - 1 - 3(1) = 1 - 1 - 3 = -3 \] \[ g(3) = (3)^3 - 1 - 3(3) = 27 - 1 - 9 = 17 \] \[ g(-1) = (-1)^3 - 1 - 3(-1) = -1 - 1 + 3 = 1 \] <li> Теперь рассмотрим функцию \( y = |g(x)| \): </li> \[ y(-1) = |g(-1)| = |1| = 1 \] \[ y(1) = |g(1)| = |-3| = 3 \] \[ y(3) = |g(3)| = |17| = 17 \] <li> Сравним полученные значения и определим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( y(3) = 17 \) <br> Наименьшее значение: \( y(-1) = 1 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 17 \) <br> Наименьшее значение: \( 1 \)