Экзамены с этой задачей: Исследование функций без помощи производной

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке: \(y=3x|x+1|-x^3\), \([-1;2]\).

Ответ

\(y_{наиб}=10\),\(y_{наим}=5-4\sqrt{2}\).

Решение № 43675:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = 3x|x+1| - x^3 \) на отрезке \([-1; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Рассмотрим функцию \( y = 3x|x+1| - x^3 \). Для этого разделим её на два случая: \( x \geq -1 \) и \( x < -1 \): </li> <li> Для \( x \geq -1 \): \[ y = 3x(x+1) - x^3 = 3x^2 + 3x - x^3 \] </li> <li> Для \( x < -1 \): \[ y = 3x(-(x+1)) - x^3 = -3x^2 - 3x - x^3 \] </li> <li> Найдем производные для каждого случая: </li> <li> Для \( x \geq -1 \): \[ y' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 3x - x^3) = 6x + 3 - 3x^2 \] </li> <li> Для \( x < -1 \): \[ y' = \frac{d}{dx}(-3x^2 - 3x - x^3) = -6x - 3 - 3x^2 \] </li> <li> Найдем критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \): </li> <li> Для \( x \geq -1 \): \[ 6x + 3 - 3x^2 = 0 \] \[ 3x^2 - 6x - 3 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 1 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \] Только \( x = 1 - \sqrt{2} \) попадает в интервал \([-1; 2]\). </li> <li> Для \( x < -1 \): \[ -6x - 3 - 3x^2 = 0 \] \[ 3x^2 + 6x + 3 = 0 \] \[ x^2 + 2x + 1 = 0 \] \[ (x + 1)^2 = 0 \] \[ x = -1 \] Но \( x = -1 \) не попадает в интервал \( x < -1 \). </li> <li> Проверим значения функции в критических точках и на концах отрезка: </li> <li> Для \( x = -1 \): \[ y(-1) = 3(-1)(-1+1) - (-1)^3 = 0 + 1 = 1 \] </li> <li> Для \( x = 1 - \sqrt{2} \): \[ y(1 - \sqrt{2}) = 3(1 - \sqrt{2})(1 - \sqrt{2} + 1) - (1 - \sqrt{2})^3 \] \[ = 3(1 - \sqrt{2})(2 - \sqrt{2}) - (1 - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) \] \[ = 3(2 - 3\sqrt{2} + 2) - (1 - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) \] \[ = 3(4 - 3\sqrt{2}) - (1 - 3\sqrt{2}) \] \[ = 12 - 9\sqrt{2} - 1 + 3\sqrt{2} \] \[ = 11 - 6\sqrt{2} \] </li> <li> Для \( x = 2 \): \[ y(2) = 3(2)(2+1) - 2^3 = 3(2)(3) - 8 = 18 - 8 = 10 \] </li> <li> Сравним полученные значения и определим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> <li> Наибольшее значение: \( y(2) = 10 \) </li> <li> Наименьшее значение: \( y(1 - \sqrt{2}) = 11 - 6\sqrt{2} \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 10 \) <br> Наименьшее значение: \( 11 - 6\sqrt{2} \)