Экзамены с этой задачей: Исследование функций без помощи производной

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(х) = 4х^3 - х|х - 2|\) на промежутке \([0; 3]\).

Ответ

\(105; -\frac{11}{27}\).

Решение № 49362:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = 4x^3 - x|x - 2| \) на промежутке \([0; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Разделить функцию на случаи в зависимости от значения \( |x - 2| \): </li> \[ f(x) = \begin{cases} 4x^3 - x(x - 2), & \text{если } x \geq 2 \\ 4x^3 + x(x - 2), & \text{если } x < 2 \end{cases} \] Это даёт нам две функции: \[ f_1(x) = 4x^3 - x^2 + 2x, \quad \text{если } x \geq 2 \] \[ f_2(x) = 4x^3 + x^2 - 2x, \quad \text{если } x < 2 \] <li> Найти производную функции \( f_1(x) \) для \( x \geq 2 \): </li> \[ f_1'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - x^2 + 2x) = 12x^2 - 2x + 2 \] <li> Найти производную функции \( f_2(x) \) для \( x < 2 \): </li> \[ f_2'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 + x^2 - 2x) = 12x^2 + 2x - 2 \] <li> Найти критические точки, решив уравнения \( f_1'(x) = 0 \) и \( f_2'(x) = 0 \): </li> Для \( f_1'(x) \): \[ 12x^2 - 2x + 2 = 0 \] Это уравнение не имеет реальных корней, так как дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 2 = 4 - 96 = -92 \) отрицательный. Для \( f_2'(x) \): \[ 12x^2 + 2x - 2 = 0 \] Решим это квадратное уравнение: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-2)}}{2 \cdot 12} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{24} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{24} = \frac{-2 \pm 10}{24} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{-2 + 10}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-2 - 10}{24} = \frac{-12}{24} = -\frac{1}{2} \] Критическая точка \( x = -\frac{1}{2} \) не попадает в отрезок \([0; 3]\), а точка \( x = \frac{1}{3} \) попадает. <li> Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка: </li> Для \( f_2(x) \): \[ f_2\left(\frac{1}{3}\right) = 4\left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right) = 4\left(\frac{1}{27}\right) + \frac{1}{9} - \frac{2}{3} = \frac{4}{27} + \frac{1}{9} - \frac{2}{3} \] \[ = \frac{4}{27} + \frac{3}{27} - \frac{18}{27} = \frac{7}{27} - \frac{18}{27} = -\frac{11}{27} \] На концах отрезка: \[ f(0) = 4(0)^3 + (0)^2 - 2(0) = 0 \] \[ f(2) = 4(2)^3 - (2)(2 - 2) = 4 \cdot 8 = 32 \] \[ f(3) = 4(3)^3 - (3)(3 - 2) = 4 \cdot 27 - 3 \cdot 1 = 108 - 3 = 105 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> Наибольшее значение: \( f(3) = 105 \) <br> Наименьшее значение: \( f\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{11}{27} \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 105 \) <br> Наименьшее значение: \( -\frac{11}{27} \)