Экзамены с этой задачей: Исследование функций без помощи производной Исследование степенных и иррациональных функций

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите область значений функции \(y=|\sqrt{8+2x-x^2}-4|+\sqrt{8+2x-x^2}+x^3-3x^2-9x\).

Ответ

\([-23,9]\).

Решение № 43736:

Для нахождения области значений функции \( y = |\sqrt{8 + 2x - x^2} - 4| + \sqrt{8 + 2x - x^2} + x^3 - 3x^2 - 9x \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить область допустимых значений для \( x \): </li> \[ \sqrt{8 + 2x - x^2} \text{ определен, если } 8 + 2x - x^2 \geq 0 \] \[ 8 + 2x - x^2 = -x^2 + 2x + 8 \] \[ -x^2 + 2x + 8 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \] \[ x = 4 \text{ или } x = -2 \] \[ \text{Таким образом, } -2 \leq x \leq 4 \] <li> Рассмотреть выражение \( \sqrt{8 + 2x - x^2} \): </li> \[ \text{Обозначим } u = \sqrt{8 + 2x - x^2} \] \[ \text{Тогда } y = |u - 4| + u + x^3 - 3x^2 - 9x \] <li> Рассмотреть функцию \( u \) на интервале \([-2, 4]\): </li> \[ u = \sqrt{8 + 2x - x^2} \] \[ \text{Найдем максимальное и минимальное значение } u: \] \[ \text{Максимальное значение } u \text{ достигается при } x = 1: \] \[ u_{\text{max}} = \sqrt{8 + 2 \cdot 1 - 1^2} = \sqrt{9} = 3 \] \[ \text{Минимальное значение } u \text{ достигается при } x = -2 \text{ или } x = 4: \] \[ u_{\text{min}} = \sqrt{8 + 2 \cdot (-2) - (-2)^2} = \sqrt{0} = 0 \] <li> Рассмотреть функцию \( v = x^3 - 3x^2 - 9x \) на интервале \([-2, 4]\): </li> \[ \text{Найдем производную } v: \] \[ v' = 3x^2 - 6x - 9 \] \[ \text{Найдем критические точки, решив } v' = 0: \] \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] \[ x = 3 \text{ или } x = -1 \] \[ \text{Вычислим значения } v \text{ в критических точках и на концах интервала:} \] \[ v(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) = -8 - 12 + 18 = -2 \] \[ v(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5 \] \[ v(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 = 27 - 27 - 27 = -27 \] \[ v(4) = 4^3 - 3 \cdot 4^2 - 9 \cdot 4 = 64 - 48 - 36 = -20 \] <li> Соединить результаты для функции \( y \): </li> \[ y = |u - 4| + u + v \] \[ \text{Рассмотрим возможные значения } y \text{ при различных } u \text{ и } v: \] \[ \text{Минимальное значение } y: \] \[ y_{\text{min}} = |0 - 4| + 0 + (-27) = 4 - 27 = -23 \] \[ \text{Максимальное значение } y: \] \[ y_{\text{max}} = |3 - 4| + 3 + 5 = 1 + 3 + 5 = 9 \] <li> Заключение: </li> \[ \text{Область значений функции } y \text{ на интервале } [-2, 4] \text{ будет } [-23, 9]. \] </ol> Ответ: <br> Область значений функции: \([-23, 9]\)