Решение №39944: \(\cos A = \sin B = a\).

Ответ: \(\cos A = a\).

Решение №39945: \(\sin A = \cos(90^\circ - A)\), если \(\sin A = \cos A\), тогда \(А = 90^\circ - А\) и \(А = 45^\circ\).

Ответ: Может только тогда, когда \(\angle А = 45^\circ\).

Решение №39946: Если \(\tan A = 1\), то \(A = B = 45^\circ \Rightarrow\) условие \(\tan A > \tan B\) не выполняется \(\Rightarrow\) не может.

Ответ: Не может.

Решение №39947: \(\tan \alpha \cdot \tan \beta = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \fraq{\sin \beta}{\cos \beta} = \fraq{\sin \alpha}{\cos \beta} \cdot \fraq{\sin \beta}{\cos \alpha} = 1\).

Ответ: 1.

Решение №39948: \(AB = 3\) см; \(ВС = 5\) см; \(\fraq{AB}{BC} = \fraq{3}{5} = \sin C = \cos B\).

Ответ: \(AB = 3\) см; \(ВС = 5\) см; \(\fraq{AB}{BC} = \fraq{3}{5} = \sin C = \cos B\).

Решение №39949: \(АВ = 4\) см; \(АН = 2\) см; \(ВН = 3,5\) см. \(\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \fraq{AH}{AB} = \fraq{2}{4} = \fraq{1}{2} = 0,50\); \(\cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \fraq{BH}{AB} = \fraq{3,5}{4} \approx 0,87\); \(\tan 30^\circ = \cot 60^\circ = \fraq{AH}{BH} = \fraq{2}{3,5} \approx 0,57\); \(\cot 30^\circ = \tan 60^\circ = \fraq{BH}{AH} = \fraq{3,5}{2} = 1,75\).

Ответ: \(\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = 0,50\); \(\cos 30^\circ = \sin 60^\circ \approx 0,87\); \(\tan 30^\circ = \cot 60^\circ \approx 0,57\); \(\cot 30^\circ = \tan 60^\circ = 1,75\).

Решение №39950: a) \(\sin x = \cos(90^\circ - x) = \cos 36^\circ \Rightarrow 90^\circ - x = 36^\circ \Rightarrow x = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ\); б) \(\cos x = \sin(90^\circ - x) = \sin 82^\circ \Rightarrow 90^\circ - х = 82^\circ \Rightarrow x = 90^\circ - 82^\circ = 8^\circ\); в) \(\tan x = \sqrt{3} \Rightarrow x = 60^\circ\); г) \(\cos x = \sin(90^\circ - x) = sin x \Rightarrow 90^\circ - x = x \Rightarrow x = 45^\circ\).

Ответ: a) \(54^\circ\); б) \(8^\circ\); в) \(60^\circ\); г) \(45^\circ\).

Решение №39951: a) \(\cos x = \sin(90^\circ - x) = \sin 50^\circ\); \(90^\circ - x = 50^\circ \Rightarrow x = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\); б) \(\sin x = 0,5\); \(x = 30^\circ\); в) \(\tan x = 1\); \(x = 45^\circ\).

Ответ: a) \(40^\circ\); б) \(30^\circ\); в) \(45^\circ\).

Решение №39952: \(\sin 80^\circ \approx 0,985\); \(\sin 32^\circ \approx 0,53\); \(\cos 54^\circ \approx 0,59\); \(\tan 10^\circ \approx 0,18\); \(\cos 18^\circ \approx 0,95\); \(\tan 65^\circ \approx 2,145\).

Ответ: \(\sin 80^\circ \approx 0,985\); \(\sin 32^\circ \approx 0,53\); \(\cos 54^\circ \approx 0,59\); \(\tan 10^\circ \approx 0,18\); \(\cos 18^\circ \approx 0,95\); \(\tan 65^\circ \approx 2,145\).

Решение №39953: а) \(\sin 30^\circ + \tan 45^\circ = \fraq{1}{2} + 1 = \fraq{3}{2}\); б) \(\cos 30^\circ \cdot \tan 60^\circ = \fraq{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \fraq{3}{2}\); в) \(\sqrt{2}\sin 45^\circ - \cos 60^\circ = \sqrt{2} \cdot \fraq{1}{\sqrt{2}} - \fraq{1}{2} = 1 - \fraq{1}{2} = \fraq{1}{2}\).

Ответ: а) \(\fraq{3}{2}\); б) \(\fraq{3}{2}\); в) \(\fraq{1}{2}\).

Решение №39954: a) \(\sqrt{3}\cos 30^\circ - \cos 60^\circ = \sqrt{3} \cdot \fraq{\sqrt{3}}{2} - \fraq{1}{2} = \fraq{3}{2} - \fraq{1}{2} = 1\); б) \(\cos 45^\circ \sin 45^\circ = \fraq{1}{\sqrt{2}} \cdot \fraq{1}{\sqrt{2}} = \fraq{1}{2}\); в) \(\sin 60^\circ \tan 30^\circ = \fraq{\sqrt{3}}{2} \cdot \fraq{1}{\sqrt{3}} = \fraq{1}{2}\).

Ответ: a) \(1\); б) \(\fraq{1}{2}\); в) \(\fraq{1}{2}\).

Решение №39955: a) \(\cos A = 0,6 \Rightarrow \sin B = \cos A = 0,6\); \(\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - 0,36} = 0,8\). б) \(\sin B = 0,5 \Rightarrow \cos A = \sin B = 0,5\); \(tan A = \fraq{\sin A}{\cos A} = \fraq{\sqrt{1 - \cos^2 A}}{\cos A} = \fraq{\sqrt{1 - 0,25}}{0,5} = \sqrt{3}\).

Ответ: a) \(\sin B = 0,6\), \(\cos B = 0,8\); б) \(\cos A = 0,5\), \(tan A = \sqrt{3}\).

Решение №39956: а) \(\sin(90^\circ - \alpha) = 0,8\); \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha) = 0,8\); \(\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos(\alpha)^{2}} = \sqrt{1 - 0,64} = 0,64\) б) \(\tan(90^\circ - \alpha) = \fraq{\sin(90^\circ - \alpha)}{\cos(90^\circ - \alpha)} = \fraq{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \fraq{\sqrt{1 - \sqrt(\alpha)^{2}}}{\sin(\alpha)} = \fraq{\sqrt{4 - 2}}{\sqrt{2}} = 1\)

Ответ: NaN

Решение №39957: а) \(\tan(x) = \cot(90^\circ - x) = \cot(22^\circ) \rightarrow 90^\circ - x = 22^\circ \rightarrow x = 68^\circ\); б) \(\cos(90^\circ - x) = \sin(x) = 0,5\) \(\cos(x) = \sqrt{1 - sin(x)^{2}} =\fraq{\sqrt{3}}{2}\); \(x = 30^\circ\)

Ответ: NaN

Решение №39958: а) \(\cot(x) = \tan(90^\circ - x) = \tan(14^\circ) \rightarrow 90^\circ - x = 14^\circ \rightarrow x = 90^\circ - 14^\circ = 76^\circ\); б) \(\tan(x) = \cot(90^\circ - x) = \cot(x) \rightarrow 90^\circ - x = x \rightarrow x = 45^\circ\)

Ответ: NaN

Решение №39959: а) \(\sin(B) = \fraq{1}{\sqrt{5}} \rightarrow \cos(A) = \sin(B) = \fraq{1}{\sqrt{5}}\); \(\sin(A) = \sqrt{1 - \cos(A)^{2}} = \fraq{2}{\sqrt{5}}\) \(\tan(A) = \fraq{\sin(A)}{\cos(A)} = 2\); \(\tan(A) = \fraq{\sin(A)}{\cos(A)} = 2\); б) \(\cot(A) = \sqrt{3} \rightarrow \tan(B) = \sqrt{3}\); \(\fraq{1}{\sin(B)^{2}} = 1 + \cot(B)^{2} = 1 + \fraq{1}{3} = \fraq{4}{3}\); \(\sin(B) = \fraq{\sqrt{3}}{2}\); в) \(\sin(A)^{2} + \sin(A)^{2} = \cos(B)^{2} + \sin(B)^{2} = 1\).

Ответ: NaN

Решение №39960: а) \(\cot(\alpha) = \tan(90^\circ - \alpha) = \fraq{1}{3} \rightarrow \tan(\alpha) \) \(\sin(\alpha) = \fraq{1}{\sqrt{1 + \cot(\alpha)^{2}}} = \fraq{1}{\sqrt{1 + \fraq{1}{9}}} = \fraq{3}{\sqrt{10}}\) \(\cos(\alpha) = \fraq{1}{\sqrt{1 + \tan(\alpha)^{2}}} = \fraq{1}{\sqrt{10}}\); б) \(\cos(\alpha)^{2} + \cos(90^\circ - \alpha)^{2} = \cos(\alpha)^{2} + \sin(\alpha)^{2} = 1\).

Ответ: NaN

Решение №39961: \(\sin(\alpha) = \cos(\beta)\) и \(\sin(\beta) = \cos(\alpha)\), тогда \(\sin(\beta) + \sin(\alpha) = \cos(\alpha) + \cos(\beta) = b\)

Ответ: NaN

Решение №39962: По определению \(\sin(\alpha) = \fraq{AC}{AB}\); \(\tan(\alpha) = \fraq{BC}{AC}\); \(\cos(\alpha) = \fraq{AC}{AB}\); \(\cot(\alpha) = \fraq{AC}{BC}\). По рисунку видно, что \(B_{1}A > BA\), тогда \(\fraq{AC}{AB} > \fraq{AC}{AB_{1}}\), тогда \(\cos(\alpha) > \cos(\alpha_{1}\) при \(\alpha_{1} > \alpha\). Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \(\cos(\alpha)^{2} + \sin(\alpha)^{2} = \cos(\alpha_{1})^{2} + \sin(\alpha_{1})^{2} \rightarrow \sin(\alpha_{1})^{2} - \sin(\alpha)^{2} = \cos(\alpha)^{2} - \cos(\alpha_{1})^{2} > 0 \rightarrow \sin(\alpha_{1})^{2} > \sin(\alpha)^{2}\), тогда \(\sin(\alpha_{1}) > \sin(\alpha)\) при \(\alpha_{1} > \alpha\). \(\tan(\alpha) = \fraq{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\), тогда, если \(\fraq{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} < \fraq{\sin(\alpha_{1})}{\cos(\alpha_{1})} \rightarrow \tan(\alpha) < \tan(\alpha_{1})\) при \(\alpha_{1} > \alpha\) и, следовательно \(\cot(\alpha) > \cot(\alpha_{1})\) при \(\alpha_{1} > \alpha\), что и требовалось доказать

Ответ: NaN

Решение №39963: а) \(\sin(23^\circ) = \cos(90^\circ - 23^\circ) = \cos(67^\circ) < \cos(65^\circ)\), т.к. \(67^\circ > 65^\circ\); б) \(\tan(36^\circ) = \cot(90^\circ - 36^\circ) = \cot(64^\circ)\)

Ответ: NaN

Решение №39964: \(\tan(15^\circ) \cdot \tan(30^\circ) \cdot \tan(45^\circ) \cdot \tan(60^\circ) \cdot \tan(75^\circ) = \tan(15^\circ) \cdot \tan(30^\circ) \cdot \tan(45^\circ) \cdot \cot(90^\circ - 60^\circ) \times \cot(90^\circ - 75^\circ) = \tan(15^\circ) \cdot \tan(30^\circ) \cdot \tan(45^\circ) \cdot \cot(30^\circ) \cdot \tcot(15^\circ) = \tan(45^\circ) = 1\)

Ответ: NaN

Решение №39965: \(\tan(1^\circ) \cdot \tan(2^\circ) \cdot ... \cdot \tan(44^\circ) \cdot \tan(45^\circ) \cdot \tan(46^\circ) \cdot ... \cdot \tan(88^\circ) \cdot \tan(89^\circ) = \tan(1^\circ) \cdot \tan(2^\circ) \cdot ... \cdot \tan(44^\circ) \cdot \tan(45^\circ) \cdot \cot(45^\circ) \cdot \cot(90^\circ - 46^\circ) \cdot ... \cdot \cot(90^\circ - 88^\circ) \cdot \cot(90^\circ - 89^\circ) = \tan(1^\circ) \cdot \tan(2^\circ) \cdot ... \cdot \tan(44^\circ) \cdot \tan(45^\circ) \cdot \cot(44^\circ) \cdot ... \cdot \cot(2^\circ) \cdot \cot(1^\circ) = \tan(45^\circ) = 1\), что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Решение №39966: По свойству углов равнобедренного треугольника \(\angle BAC = \angle BCA = 75^\circ\), тогда по теореме о сумме углов треугольника: \(\angle ABC = 180^\circ - 75^\circ = 30^\circ\); \(\sin{30^\circ} = \fraq{DC}{BC}\), тогда \(BC = \fraq{DC}{\sin{30^\circ}} = 2DC = 12\) (см). \(BC = АВ\) по определению равнобедренного треугольника, тогда \(АВ = 12\) см; \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}AB \cdot DC = \fraq{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 (см^2)\).

Ответ: \(36 (см^2)\).

Решение №39967: По признаку \(\Delta BDC\) и \(\Delta ADB\) - равнобедренные, тогда \(BC = a\sqrt{2}\); \(AB = a\sqrt{2}\); \(S = \fraq{1}{2}AB \cdot BC\); \(S = \fraq{1}{2}a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2} = a^2\).

Ответ: \(a^2\).