№39978

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, соотношения между сторонами прямоугольного треугольника, Вычисление значений тригонометрических функций ,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

При возрастании острого угла синус и тангенс этого угла возрастают, а косинус и котангенс убывают. Докажите.

Ответ

NaN

Решение № 39962:

По определению \(\sin(\alpha) = \fraq{AC}{AB}\); \(\tan(\alpha) = \fraq{BC}{AC}\); \(\cos(\alpha) = \fraq{AC}{AB}\); \(\cot(\alpha) = \fraq{AC}{BC}\). По рисунку видно, что \(B_{1}A > BA\), тогда \(\fraq{AC}{AB} > \fraq{AC}{AB_{1}}\), тогда \(\cos(\alpha) > \cos(\alpha_{1}\) при \(\alpha_{1} > \alpha\). Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \(\cos(\alpha)^{2} + \sin(\alpha)^{2} = \cos(\alpha_{1})^{2} + \sin(\alpha_{1})^{2} \rightarrow \sin(\alpha_{1})^{2} - \sin(\alpha)^{2} = \cos(\alpha)^{2} - \cos(\alpha_{1})^{2} > 0 \rightarrow \sin(\alpha_{1})^{2} > \sin(\alpha)^{2}\), тогда \(\sin(\alpha_{1}) > \sin(\alpha)\) при \(\alpha_{1} > \alpha\). \(\tan(\alpha) = \fraq{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\), тогда, если \(\fraq{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} < \fraq{\sin(\alpha_{1})}{\cos(\alpha_{1})} \rightarrow \tan(\alpha) < \tan(\alpha_{1})\) при \(\alpha_{1} > \alpha\) и, следовательно \(\cot(\alpha) > \cot(\alpha_{1})\) при \(\alpha_{1} > \alpha\), что и требовалось доказать