Решение №38724: Вычислите скалярное произведение векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38725: Пусть \(\vec{а} = \vec{АВ}\), \(\vec{b} = \vec{BC}\), \(\vec{c} = \vec{CD}\) и \(\vec{d} = \vec{DA}\). Toгда \(d^2 = (\vec{а} + \vec{b} + \vec{c})^2 = a^2 + b^2 + c^2 + \sqrt{2} (\vec{а}\vec{b} + \vec{а}\vec{c} + \vec{b}\vec{c})\) и \(\vec{AC}\vec{BD} = (\vec{а} + \vec{b})(\vec{b} + \vec{c}) = b^2 + \vec{а}\vec{b} + \vec{а}\vec{c} + \vec{b}\vec{c}\). Поэтому диагонали \(АС\) и \(BD\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(а^2 + с^2 = b^2 + d^2\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38726: Представьте каждый выбранный вектор \(\vec{AB}\) в виде \(\vec{AB} = \vec{AO} - \vec{OB}\), где \(О\) - некоторая фиксированная точка.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38727: Вычислите в координатах скалярное произведение векторов \(\vec{KM}\) и \(\vec{NL}\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38728: Вектор \(\vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}\) перпендикулярен прямой \(АВ\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38729: Положите \(\vec{a} = \vec{AB}\), \(\vec{b} =\vec{BC}\) и \(\vec{c} = \vec{CD}\). Тогда \(AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 - AC^2 - BD^2 = (\vec{a} + \vec{c})^2\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38730: Пусть точки О_{1} и O_{2} - центры первых и вторых часов, точки M_{1} и M_{2} - концы часовых стрелок первых и вторых часов в какой-то момент времени (эти точки равномерно движутся по окружностям). Тогда \(\vec{M_{1}M_{2}} = \vec{O_{1}O_{2}} + (\vec{M_{1}O_{1}} + \vec{O_{2}M_{2}}). Вектор \(\vec{M_{1}O_{1}} + \vec{O_{2}M_{2}}\) имеет постоянную длину и равномерно вращается.

Ответ: \(\vec{$M_{1}$$M_{2}$} = \vec{$O_{1}$$O_{2}$} + (\vec{$M_{1}$$O_{1}$} + \vec{$O_{2}$$M_{2}$}). Вектор \(\vec{$M_{1}$$O_{1}$} + \vec{$O_{2}$$M_{2}$}\) имеет постоянную длину и равномерно вращается.

Решение №38731: Положите \(\vec{OA} = OA\vec{a}\), \(\vec{OB} = OB\vec{b}\) и \(\vec{OC} = OC\vec{c}\); векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) имеют единичную длину. Левую часть искомого равенства можно записать в виде \(\frac{1}{2}OA \cdot OB \cdot OC (\sin{BOC} \times \vec{a} + \sin{AOC} \cdot \vec{b} + \sin{AOB} \cdot \vec{c})\). Проекции векторов \(\sin{AOC} \cdot \vec{b}\) и \(\sin{AOB} \cdot \vec{c}\) на прямую, перпендикулярную вектору \(\vec{a}\), равны по длине и противоположно направлены.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38732: Пусть \(X\) и \(O\) - некоторые точки. Тогда \(m_{1}\var{OX_{1}} + ... + m_{n}\var{OX_{n}} = (m_{1} + ... + m_{n})\var{OX} + m_{1}\var{XX_{1}} + ... + m_{n}\var{XX_{n}}\). Поэтому точка \(О\) - центр масс тогда и только тогда, когда \((m_{1} + ... + m_{n})\var{OX} + m_{1}\var{XX_{1}} + ... + m_{n}\var{XX_{n}} = \var{0}\), т. е. \(\var{XO} = \frac{1}{m_{1} + ... + m_{n}} \times (m_{1}\var{XX_{1}} + ... + m_{n}\var{XX_{n}})\). Выбрав произвольно точку \(Х\), с помощью этого равенства найдите центр масс \(О\); сделать это можно единственным образом.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38733: Пусть \(X\) и \(O\) - некоторые точки. Тогда \(m_{1}\var{OX_{1}} + ... + m_{n}\var{OX_{n}} = (m_{1} + ... + m_{n})\var{OX} + m_{1}\var{XX_{1}} + ... + m_{n}\var{XX_{n}}\). Поэтому точка \(О\) - центр масс тогда и только тогда, когда \((m_{1} + ... + m_{n})\var{OX} + m_{1}\var{XX_{1}} + ... + m_{n}\var{XX_{n}} = \var{0}\), т. е. \(\var{XO} = \frac{1}{m_{1} + ... + m_{n}} \times (m_{1}\var{XX_{1}} + ... + m_{n}\var{XX_{n}})\). Выбрав произвольно точку \(Х\), с помощью этого равенства найдите центр масс \(О\); сделать это можно единственным образом.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38734: Пусть точка \(О\) - центр масс точек \(X_{1}\), ..., \(X_{n}\), \(Y_{1}\), ..., \(Y_{m}\) с массами \(a_{1}\), ..., \(a_{n}\), \(b_{1}\), ..., \(b_{m}\), а точка \(Y\) - центр масс точек \(Y_{1}\), ..., \(Y_{m}\) с массами \(b_{1}\), ..., \(b_{m}\). Тогда \(a_{1}\var{OX_{1}} + ... + a_{n}\var{OX_{n}} + b_{1}\var{OY_{1}} + ... + b_{m}\var{OY_{m}} = \var{0}\) и \(b_{1}\var{YY_{1}} + ... + b_{m}\var{YY_{m}} = \var{0}\). Вычитая второе равенство из первого, получаем \(a_{1}\var{OX_{1}} + ... + a_{n}\var{OX_{n}} + (b_{1} + ... + b_{m})\var{OY} = \var{0}\). Это означает, что точка \(O\) - центр масс точек \(X_{1}\), ..., \(X_{n}\), \(Y\) с массами \(a_{1}\), ..., \(a_{n}\), \(b_{1} + ... + b_{m}\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38735: Согласно определению центра масс \(а\var{ОА} + b\var{OВ} = \var{0}\), поэтому точка \(О\) лежит на отрезке \(АВ\) и \(аОA = bOВ\), т. е. \(АО: ОВ = b : а\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38736: Пусть \(О\) - центр масс этой системы точек. Точка \(О\) является также центром масс точки \(А\) с массой 1 и точки \(А_{1}\) с массой 2, где \(А_{1}\) - центр масс точек \(В\) и \(С\) с единичными массами, т. е. \(А_{1}\) - середина отрезка \(ВС\). Поэтому точка \(О\) лежит на медиане \(АА_{1}\). Аналогично доказывается, что остальные медианы проходят через точку \(О\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38737: Поместите в вершины четырёхугольника \(ABCD\) единичные массы. Пусть точка \(O\) - центр масс этой системы точек. Покажите, что эта точка является серединой отрезков \(КМ\) и \(LN\) и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей. Точка \(К\) - центр масс точек \(А\) и \(В\), точка \(М\) - центр масс точек \(С\) и \(D\). Поэтому точка \(О\) является центром масс точек \(К\) и \(М\) с массами 2, т. е. точка \(O\) - середина отрезка \(КМ\). Аналогично точка \(О\) - середина отрезка \(LN\). Центр масс точек \(А\) и \(С\) - середина диагонали \(АС\), центр масс точек \(В\) и \(D\) - середина диагонали \(BD\), поэтому точка \(O\) является серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38738: Пусть прямые \(АА_{1}\) и \(СС_{1}\) пересекаются в точке \(O\); \(AC_{1} : С_{1}В = p\) и \(BA_{1} : A_{1}C = q\). Нужно доказать, что прямая \(ВВ_{1}\) проходит через точку \(О\) тогда и только тогда, когда \(CB_{1} : B_{1}A = 1 : pq\). Поместите в точки \(А\), \(В\) и \(С\) массы 1, \(р\) и \(pq\) соответственно. Тогда точка \(С_{1}\) является центром масс точек \(А\) и \(В\), а точка \(А_{1}\) - центром масс точек \(В\) и \(С\). Поэтому центр масс точек \(А\), \(В\) и \(С\) с данными массами - это точка \(О\), в которой пересекаются прямые \(CC_{1}\) и \(AA_{1}\). Кроме того, точка \(О\) лежит на отрезке, соединяющем точку \(В\) с центром масс точек \(А\) и \(С\). Если точка \(В_{1}\) - центр масс точек \(А\) и \(С\) с массами 1 и \(pq\), то \(АВ_{1} : В_{1}C = pq : 1\). На отрезке \(АС\) есть ровно одна точка, делящая его в данном отношении \(АВ_{1} : В_{1}C\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38739: Поместим в точки \(А\), \(В\), \(С\) и \(D\) массы 1, \(a\), \(ab\) и \(b\) соответственно. Тогда точки \(К\), \(L\), \(M\) и \(N\) являются центрами масс пар точек \((А, B)\), \((B, C)\), \((C, D)\) и \((D, А)\) соответственно. Пусть точка \(O\) - центр масс точек \(А\), \(B\), \(С\) и \(D\) с указанными массами. Тогда точка \(О\) лежит на отрезке \(NL\) и \(NO : OL = (ab + a) : (1 + b) = a\). Точка \(О\) лежит также на отрезке \(КМ\) и \(KO:OM = (b + ab) : (1 + a) = b\). Поэтому \(О\) - точка пересечения отрезков \(КМ\) и \(LN\), т. е. точки \(О\) и \(Р\) совпадают. Следовательно, \(NP : PL = NO : OL = а\) и \(КР : РМ = b\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №38740: При симметрии относительно оси симметрии центр масс точек единичной массы, расположенных в вершинах многоугольника, переходит в себя, поэтому все оси симметрии многоугольника проходят через центр масс.

Ответ: Утверждение доказано.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN