№38752

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что центр масс вершин \(А\), \(В\) и \(С\) треугольника \(АВС\) с единичными массами - точка пересечения его медиан.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38736:

Пусть \(О\) - центр масс этой системы точек. Точка \(О\) является также центром масс точки \(А\) с массой 1 и точки \(А_{1}\) с массой 2, где \(А_{1}\) - центр масс точек \(В\) и \(С\) с единичными массами, т. е. \(А_{1}\) - середина отрезка \(ВС\). Поэтому точка \(О\) лежит на медиане \(АА_{1}\). Аналогично доказывается, что остальные медианы проходят через точку \(О\).