№38748

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что центр масс существует и единствен для любой системы точек.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38732:

Пусть \(X\) и \(O\) - некоторые точки. Тогда \(m_{1}\var{OX_{1}} + ... + m_{n}\var{OX_{n}} = (m_{1} + ... + m_{n})\var{OX} + m_{1}\var{XX_{1}} + ... + m_{n}\var{XX_{n}}\). Поэтому точка \(О\) - центр масс тогда и только тогда, когда \((m_{1} + ... + m_{n})\var{OX} + m_{1}\var{XX_{1}} + ... + m_{n}\var{XX_{n}} = \var{0}\), т. е. \(\var{XO} = \frac{1}{m_{1} + ... + m_{n}} \times (m_{1}\var{XX_{1}} + ... + m_{n}\var{XX_{n}})\). Выбрав произвольно точку \(Х\), с помощью этого равенства найдите центр масс \(О\); сделать это можно единственным образом.