№38755

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На сторонах \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) взяты точки \(K\), \(L\), \(M\) и \(N\) соответственно, причём \(АК : КВ = DM : MC = а\) и \(BL : LC = AN : ND = b\). Пусть \(Р\) - точка пересечения отрезков \(КМ\) и \(LN\). Докажите, что \(NP : PL = а\) и \(КР : PM = b\).

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38739:

Поместим в точки \(А\), \(В\), \(С\) и \(D\) массы 1, \(a\), \(ab\) и \(b\) соответственно. Тогда точки \(К\), \(L\), \(M\) и \(N\) являются центрами масс пар точек \((А, B)\), \((B, C)\), \((C, D)\) и \((D, А)\) соответственно. Пусть точка \(O\) - центр масс точек \(А\), \(B\), \(С\) и \(D\) с указанными массами. Тогда точка \(О\) лежит на отрезке \(NL\) и \(NO : OL = (ab + a) : (1 + b) = a\). Точка \(О\) лежит также на отрезке \(КМ\) и \(KO:OM = (b + ab) : (1 + a) = b\). Поэтому \(О\) - точка пересечения отрезков \(КМ\) и \(LN\), т. е. точки \(О\) и \(Р\) совпадают. Следовательно, \(NP : PL = NO : OL = а\) и \(КР : РМ = b\).