№38753

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Пусть \(ABCD\) - выпуклый четырёхугольник, точки \(К\), \(L\), \(M\) и \(N\) - середины сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\). Докажите, что точка пересечения отрезков \(КМ\) и \(LN\) является общей серединой этих отрезков и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38737:

Поместите в вершины четырёхугольника \(ABCD\) единичные массы. Пусть точка \(O\) - центр масс этой системы точек. Покажите, что эта точка является серединой отрезков \(КМ\) и \(LN\) и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей. Точка \(К\) - центр масс точек \(А\) и \(В\), точка \(М\) - центр масс точек \(С\) и \(D\). Поэтому точка \(О\) является центром масс точек \(К\) и \(М\) с массами 2, т. е. точка \(O\) - середина отрезка \(КМ\). Аналогично точка \(О\) - середина отрезка \(LN\). Центр масс точек \(А\) и \(С\) - середина диагонали \(АС\), центр масс точек \(В\) и \(D\) - середина диагонали \(BD\), поэтому точка \(O\) является серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.